Giải bài 37 trang 46 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao
Mùa xuân ở hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứa trò chơi này người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (t ≥ 0) bởi hệ thức h=|d| với d=3\cos \left[ \dfrac{\pi }{3}\left( 2t-1 \right) \right] , trong đó ta quy ước rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp trái lại
a) Tìm các thời điểm mà ở trong 2 giây đầu tiên người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất
b) Tìm các thời điểm mà ở trong 2 giây đầu tiên người chơi đu ở cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến 1/100 giây)
a)
Người chơi ở xa vị trí cân băng nhất khi \(\cos \left[ \dfrac{\pi }{3}\left( 2t-1 \right) \right]=\pm 1 \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & \cos \left[ \dfrac{\pi }{3}\left( 2t-1 \right) \right]=\pm 1 \\ & \Leftrightarrow \sin \left[ \dfrac{\pi }{3}\left( 2t-1 \right) \right]=0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{3}\left( 2t-1 \right)=k\pi \\ & \Leftrightarrow 2t-1=3k \\ & \Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3k}{2},\,\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned}\)
Ta cần tìm thời điểm trong 2s đầu nên \(0\le t\le 2\Leftrightarrow 0\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{3k}{2}\le 2\Leftrightarrow -\dfrac{1}{3}\le k\le 1 \)
Vậy \(k\in \left\{ 0;1 \right\}\) hay \(t=0,5 \) hoặc \(t=2\) thì người chơi đi quay ở xa vị trí cân bằng nhất.
b)
Người chơi ở vị trí cách vị trí cân bằng 2 mét nên
\(\begin{aligned} & 3\cos \left[ \dfrac{\pi }{3}\left( 2t-1 \right) \right]=\pm 2 \\ & \Leftrightarrow \cos \left[ \dfrac{\pi }{3}\left( 2t-1 \right) \right]=\dfrac{\pm 2}{3} \\ & \Leftrightarrow 1+\cos \left[ \dfrac{2\pi }{3}\left( 2t-1 \right) \right]=\dfrac{4}{9} \\ & \Leftrightarrow \cos \left[ \dfrac{2\pi }{3}\left( 2t-1 \right) \right]=-\dfrac{1}{9} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2\pi }{3}\left( 2t-1 \right)=\pm \alpha +k2\pi \\ & \Leftrightarrow t-\pm \dfrac{3\alpha }{4\pi }+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3k}{2}\,\,\,\,\left( \text{với}\,\,\cos \alpha =-\dfrac{1}{9} \right) \\ \end{aligned} \)
Ta tìm k nguyên thuộc \([0;2]\)
Với \(t=\dfrac{3\alpha }{4\pi }+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3k}{2} \), ta có:
\(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{\alpha }{2\pi }\le k\le 1-\dfrac{\alpha }{2\pi }\)
Với \(\cos \alpha =-\dfrac{1}{9} \) chọn \( \alpha \approx 1,682 \)
Khi đó \(-0,601< k<0,732\) suy ra \(k=0\) và \(t\approx 0,90\)
Với \(t=-\dfrac{3\alpha }{4\pi }+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3k}{2}\), ta có
\(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{\alpha }{2\pi }\le k\le 1+\dfrac{\alpha }{2\pi } \)
Với \(\alpha \approx 1,682\) suy ra \(-0,066\le k\le 1,267 \)
Suy ra \(k=1\) khi đó \(t\approx 1,60\) hoặc \(k=0\) khi đó \(t\approx 0,10\)
Vậy trong 2 s đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu quay cách vị trí cân bằng 2m