Cực trị của hàm số - Giải tích toán lớp 12
1. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên khoảng \((a;b)\) và điểm \(x_0\)\(\in\)\((a;b)\).
a) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x)<\)\(f(x_0)\) với mọi \(x\)\(\in\)\((x_0-h;x_0+h)\) và \(x\neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\).
b) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x)>\)\(f(x_0)\) với mọi \(x\)\(\in\)\((x_0-h;x_0+h)\) và \(x\neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
a) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x)<\)\(f(x_0)\) với mọi \(x\)\(\in\)\((x_0-h;x_0+h)\) và \(x\neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\).
b) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f(x)>\)\(f(x_0)\) với mọi \(x\)\(\in\)\((x_0-h;x_0+h)\) và \(x\neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1
Giả sử hàm số \(y=f(x)\)liên tục trên khoảng \(K=\)\((x_0-h;x_0+h)\)và có đạo hàm trên \(K\) hoặc trên K
Giả sử hàm số \(y=f(x)\)liên tục trên khoảng \(K=\)\((x_0-h;x_0+h)\)và có đạo hàm trên \(K\) hoặc trên K
{ \(x_0\) }, với \(h>0\).{ \(x_0\) }, với \(h>0\).
a) Nếu \(f'(x)>0\) trên khoảng \((x_o-h ; x_0)\) và \(f'(x)<0\) trên khoảng \((x_0; x_0+h)\) thì \(x_0\) là một điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).b) Nếu \(f'(x)<0\) trên khoảng \((x_o-h ; x_0)\) và \(f'(x)>0\) trên khoảng \((x_0; x_0+h)\) thì \(x_0\) là một điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
3. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
a) Tìm tập xác định.
b) Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó \(f'(x)\) bằng 0 hoặc \(f'(x)\) không xác định.c) Lập bảng biến thiên.d) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Định lí 2
giả sử hàm số \(y=f(x)\)có đạo hàm cấp hai trong khoảng \((x_0-h;x_0+h)\),với \(h>0\). Khi đó :
giả sử hàm số \(y=f(x)\)có đạo hàm cấp hai trong khoảng \((x_0-h;x_0+h)\),với \(h>0\). Khi đó :
a) Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểub) Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại
Quy tắc 2
a) Tìm tập xác định.b) Tính \(f'(x)\). giải phương trình \(f'(x)=0\) và kí hiệu \(x_i (i=1,2,...,n)\)là các nghiệm của nó.c) Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\)d) Dựa vào dấu của \(f''(x_i)\)suy ra tính chất cực trị của điểm \(x_i\).
Mục lục Lớp 12 theo chương
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Bài tập Giải tích 12
Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12
Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị - Phần 5: Di truyền học
Địa Lý Việt Nam - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 1: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 1: Khối đa diện - Hình học 12
Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá - Phần 6: Tiến hoá
Chương 1: Động lực học vật rắn - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit - Bài tập Giải tích 12
Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12
Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Tự Nhiên - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 2: Sóng cơ và sóng âm - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền - Phần 5: Di truyền học
Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Hình học 12
Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất - Phần 6: Tiến hoá
Chương 2: Quần xã sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
Chương 2: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài tập Giải tích 12
Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12
Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Dân Cư - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 3: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 3: Di truyền học quần thể - Phần 5: Di truyền học
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12
Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường - Phần 7: Sinh thái học
Chương 3: Sóng cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 4: Số phức - Bài tập Giải tích 12
Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 4: Số phức - Giải tích 12
Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Kinh Tế - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 4: Ứng dụng di truyền học - Phần 5: Di truyền học
Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao)
Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 5: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
Địa Lý Địa Phương - Giải bài tập SGK Địa lý 12
Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 5: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 5: Di truyền học người - Phần 5: Di truyền học
Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
Chương 6: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 6: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 7: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 7: Crom - Sắt - Đồng - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 7: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12
Chương 9: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12
Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
+ Mở rộng xem đầy đủ