Giải bài 5 trang 41 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Gợi ý:

a) Phương trình bậc hai với \(\cos x\)

b) 

Xét \(\cos x=0\) có thỏa phương trình không.

 

• Khi \(\cos x\ne 0\): Chia hai vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\) ta đưa về dạng phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất) đối với \( \tan x.\)

c) Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)

d) Áp dụng: \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)

a) 

\(\begin{aligned} & 2{{\cos }^{2}}x-3\cos x+1=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x=1 \\ & \cos x=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right.\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=k2\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)

b) 

\(\begin{aligned} & 25{{\sin }^{2}}x+15\sin 2x+9co{{s}^{2}}x=25 \\ & \Leftrightarrow 25{{\sin }^{2}}x+30\sin x\cos x+9{{\cos }^{2}}x=25({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x) \\ & \Leftrightarrow 30\sin x\cos x-16{{\cos }^{2}}x=0 \\ & \Leftrightarrow 2\cos x(15\sin x-8\cos x)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x=0 \\ & 15\sin x=8\cos x \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ & \tan x=\dfrac{8}{15} \\ \end{aligned} \right.\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\arctan \dfrac{8}{15}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)

c) \(2\sin x+\cos x =1\)

Chia cả hai vế của phương trình cho\(\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\), ta được:

\(\begin{aligned} & \frac{2}{\sqrt{5}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{5}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ & \Leftrightarrow \cos x\cos \alpha +\sin x\sin \alpha =\cos \alpha \\ & \Leftrightarrow \cos (x-\alpha )=\cos \alpha \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-\alpha =\alpha +k2\pi \\ & x-\alpha =-\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right.\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2\alpha +k2\pi \\ & x=k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)

(trong đó: \(\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)$, <span\; class="math-tex">\backslash (\backslash cos\backslash alpha=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\backslash )</span>$)

d) \(\sin x+1,5 \cot x=0\)

Điều kiện: \(\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne kπ\)

\(\begin{aligned} & \sin x+1,5\cot x=0 \\ & \Leftrightarrow \sin x+1,5\cot x=0 \\ & \Rightarrow 2{{\sin }^{2}}x+3\cos x=0 \\ & \Leftrightarrow 2(1-{{\cos }^{2}}x)+3\cos x=0 \\ & \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-3\cos x-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x=\dfrac{-1}{2} \\ & \cos x=2\,\,\,\text{(loại)} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \cos x=\cos \dfrac{2\pi }{3} \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & x=\dfrac{-2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)