Giải bài 2 trang 12 – SGK môn Hình học lớp 12

Giả sử đa diện có \(n\) đỉnh. 

\(⇒\) Số cạnh của đa diện là \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) cạnh. (1)

Mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của \(2m+1\) mặt nên có \(2m+1\) cạnh đi qua đỉnh đó.

Do đa diện có \(n\) đỉnh nên số cạnh là \(\dfrac{n(2m+1)}{2}\) cạnh. (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n(2m+1)}{2}⇒n-1=2m+1⇒n=2(m+1)\)

Hay \(n\) là một số chẵn.

Ví dụ: Tứ diện có 4 đỉnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt.

Ghi nhớ:

Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn.