Giải bài 6 trang 26 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thẳng AB có độ dài bằng a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài bằng b trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.
Hướng dẫn:
Dựng hình lăng trụ tam giác từ 4 điểm ABCD. Chứng minh thể tích lăng trụ không đổi suy ra thể tích khối tứ diện không đổi.
Gọi h là độ dài đường vuông góc chung của d và d'.
Do d, d' không đổi nên h không đổi.
Qua A, B, C dựng hình bình hành ABFC. Qua A, C, D dựng hình bình hành ACDE. Khi đó ABE.CFD là một hình lăng trụ tam giác.
Vì \(AE//CD\Rightarrow \widehat{\left( AB;\,CD \right)}=\widehat{\left( AB;\,AE \right)}=\widehat{BAE}=\alpha\)
Do d và d' không đổi nên \(\alpha\) không đổi.
Do ACDE là hình bình hành nên \(AE=CD=b\).
Ta có
\(\begin{align} {{V}_{B.ACD}}&={{V}_{B.CDF}}={{V}_{B.ADE}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABE.CFD}} \\ & =\dfrac{1}{3}h.{{S}_{ABE}}=\dfrac{1}{3}h.\dfrac{1}{2}.AB.AE.\sin \widehat{BAE} \\ & =\dfrac{1}{6}h.ab.sin\alpha \\ \end{align} \)
Do h, a, b, \(\alpha\) không đổi nên thể tích khối tứ diện ABCD không đổi.