Giải bài 88 trang 111 - SGK Toán 8 Tập 1
Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(E, \,F, \,G, \,H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, \,BC,\, CD, \,DA.\) Các đường chéo \(AC, \,BD\) của tứ giác \(ABCD\) có điều kiện gì thì \(EFGH\) là:
a) Hình chữ nhật?
b) Hình thoi?
c) Hình vuông
Ta có: \(EB = EA,\, FB = FC\) (gt)
Nên \(EF //AC, \,EF = \dfrac{1}{2} AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(HD = HA,\, GD = GC\) (gt)
Nên \(HG // AC, \,HG = \dfrac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Do đó \(EF //HG, \,EF = HG.\)
\(EB = EA, \,AH = HD\) (gt)
Nên \(EH //BD,\, EH = \dfrac{1}{2} BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(CF = FB, \,GD = GC\) (gt)
Nên \(FG // BD,\, FG = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Do đó \(EH // FG, \,EH = FG\)
Vậy \(EFGH\) là hình bình hành.
a) Hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật
\(\Leftrightarrow EH \bot EF\)
\(\Leftrightarrow AC \bot BD\) (vì \(EH // CD,\, EF // AC\))
Điều kiện phải tìm: các đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau.
b) Hình bình hành \(EFGH\) là hình thoi
\(\Leftrightarrow EF = EH\)
\(\Leftrightarrow AC = BD\) (vì \(EF = \dfrac{1}{2}AC, \,EH = \dfrac{1}{2}BD\))
Điều kiện phải tìm: các đường chéo \(AC\) và \(BD\) bằng nhau.
c) Hình bình hành \(EFGH\) là hình vuông.
\(EFGH\) là hình vuông đồng thời là hình thoi
\(\Rightarrow AC \bot BD\) và \(AC = BD\)
Điều kiện phải tìm: các đường chéo \(AC,\, BD\) bằng nhau và vuông góc với nhau.
Lưu ý:
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình chữ nhật
+ Hình hình hành có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau là hình vuông.