Giải bài 8 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số
\(y={{x}^{3}}+\left( m+3 \right){{x}^{2}}+1-m\) (\(m\) là tham số)
có đồ thị \((C_m)\).
a) Xác định \(m\) để hàm số có điểm cực đại là \(x = -1\).
b) Xác định \(m\) để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại \(x = -2\).
a) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
\(y'=3{{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x\\y''=6x+2\left( m+3 \right)\)
Hàm số đạt cực trị tại \(x = -1\) nếu
\(3{{\left( -1 \right)}^{2}}+2\left( m+3 \right)\left( -1 \right)=0\\\Leftrightarrow -2m-6+3=0\\\Leftrightarrow m=-\dfrac{3}{2}\)
Với \(m=-\dfrac{3}{2}\) ta có \(y''\left( -1 \right)=6\left( -1 \right)+2\left( \dfrac{-3}{2}+3 \right)=-6+3=-3<0\)
Vậy với \(m=-\dfrac{3}{2}\) thì hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\)
b) Hàm số cắt trục hoành tại \(x = -2\)
\(\Leftrightarrow -8+4\left( m+3 \right)+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-5}{3}\)
Ghi nhớ: Hàm số \(y=f(x)\) đạt cực đại tại \(x = x_o\) nếu \(y'(x_o)=0\) và \(y''(x_o)<0\).