Giải bài 3 trang 62 – Bài 11 – SGK môn Vật lý lớp 11
Mạch ngoài bao gồm điện trở \(R\) và điện trở \(x\) mắc nối tiếp nhau.
Điện trở tương đương của mạch ngoài là: \(R_N=R+x\)
a) Công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là:
\({{P}_{N}}={{I}^{2}}.{{R}_{N}}={{\left( \dfrac{E}{{{R}_{N}}+r} \right)}^{2}}.{{R}_{N}}=\dfrac{144}{{{\left( {{R}_{N}}+r \right)}^{2}}}.{{R}_{N}} \)
\(=\dfrac{144.{{R}_{N}}}{R_{N}^{2}+2,2.{{R}_{N}}+1,21}=\dfrac{144}{{{R}_{N}}+2,2+\dfrac{1,21}{{{R}_{N}}}} \)
Để công suất mạch ngoài cực đại \(\left(P_{max}\right)\) thì mẫu số của biểu thức trên phải đạt cực tiểu, tức:
\({R}_{N}+2,2+\dfrac{1,21}{{{R}_{N}}}\) đạt min
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(R_N\) và \(\dfrac{1,21}{{R}_{N}}\) ta được:
\({{R}_{N}}+\dfrac{1,21}{{{R}_{N}}}\ge 2.\sqrt{{{R}_{N}}.\dfrac{1,21}{{{R}_{N}}}}=2,2 \)
Dấu \("="\) xảy ra khi:\({R}_{N}=\dfrac{1,21}{{R}_{N}}\) \(\Leftrightarrow R_N=\sqrt{1,21}=1,1\)
Suy ra: \(x=1,1-R=1,1-0,1=1\left(\Omega\right)\)
Vậy để công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là lớn nhất thì điện trở \(x\) có giá trị là \(x=1\Omega\)
b) Công suất tiêu thụ của điện trở \(x\) là:
\(P={{I}^{2}}.x={{\left( \dfrac{ℰ}{{{R}_{N}}+r} \right)}^{2}}.x=\dfrac{{{ℰ}^{2}}.x}{{{\left( R+x+r \right)}^{2}}}\)
\(=\dfrac{144.{x}}{x^{2}+2,4.{x}+1,44}=\dfrac{144}{{x}+2,4+\dfrac{1,44}{{x}}} \)
Để công suất mạch tiêu thụ của điện trở \(x\) cực đại \(\left(P_{xmax}\right)\) thì mẫu số của biểu thức trên phải đạt cực tiểu, tức:
\(x+2,4+\dfrac{1,44}{{x}}\) đạt min
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x\) và \(\dfrac{1,44}{{x}}\) ta được:
\({x}+\dfrac{1,44}{{x}}\ge 2.\sqrt{{x}.\dfrac{1,44}{{x}}}=2,4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x= \dfrac{1,44}{{x}}\)\(\Leftrightarrow x=\sqrt{1,44}=1,2\left(\Omega\right)\)
Vậy để công suất tiêu thụ của điện trở \(x\) là lớn nhất thì điện trở \(x\) có giá trị là \(x=1,2\Omega\), khi đó công suất lớn nhất là:
\({P}_{xmax}=\dfrac{144}{{1,2}+2,4+\dfrac{1,44}{{1,2}}}=30(W) \)
Đáp số: a) \(x=1\Omega\); b) \(x=1,2\Omega;P_{xmax}=30W\)