Giải bài 3 trang 101 – SGK môn Giải tích lớp 12
Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a) \(\int{{{\left( 1-x \right)}^{9}}\,dx}\) (đặt \(u=1-x\))
b) \(\int{x\left( 1+{{x}^{2}} \right)}dx\) (đặt \(u=1+{{x}^{2}}\));
c) \(\int{{{\cos }^{3}}x\sin xdx}\) (đặt \(t=\cos x \));
d) \(\int{\dfrac{dx}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}+2}}\) (đặt \(u={{e}^{x}}+1\)).
Hướng dẫn:
Nếu \(\int{f\left( u \right)du}=F\left( u \right)+C\) và \(u=u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int{f\left( u\left( x \right) \right)u'\left( x \right)dx}=F\left( u\left( x \right) \right)+C\)
a) \(\int{{{\left( 1-x \right)}^{9}}\,dx}\)
Đặt \(u=1-x\Rightarrow du=-dx\)
\(\begin{align}\int{{{\left( 1-x \right)}^{9}}\,dx}& =-\int{{{u}^{9}}du}\\&=-\dfrac{{{u}^{10}}}{10}+C \\&=-\dfrac{{{\left( 1-x \right)}^{10}}}{10}+C\end{align}\)
b) \(\int{x\left( 1+{{x}^{2}} \right)}dx\)
Đặt \(u=1+{{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx\Rightarrow xdx=\dfrac{du}{2}\)
\(\begin{align} \int{x\left( 1+{{x}^{2}} \right)\,dx}&=\int{\dfrac{u}{2}du}\\&=\dfrac{{{u}^{2}}}{4}+C\\&=\dfrac{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}{4}+C\end{align} \)
c) \(\int{{{\cos }^{3}}x\sin xdx}\)
Đặt \(t=\cos x\Rightarrow dt=-\sin xdx\)
\( \begin{align} \int{{{\cos }^{3}}x\sin xdx}&=-\int{{{t}^{3}}dt}\\&=-\dfrac{{{t}^{4}}}{4}+C\\&=-\dfrac{{{\cos }^{4}}x}{4}+C \end{align}\)
d) \(\int{\dfrac{dx}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}+2}}\)
Đặt \(u={{e}^{x}}+1\Rightarrow du={{e}^{x}}dx\)
\(\begin{align} \int{\dfrac{dx}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}+2}}&=\int{\dfrac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}dx}\\& =\int{\dfrac{du}{{u}^{2}}}\\& =-\dfrac{1}{u}+C\\&=-\dfrac{1}{{{e}^{x}}+1}+C \end{align} \)