Giải bài 6 trang 68 – SGK môn Hình học lớp 12
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a) Có đường kính AB với \(A=\left( 4;-3;7 \right),B=\left( 2;1;3 \right)\).
b) Đi qua điểm \(A=\left( 5;-2;1 \right)\) và có tâm \(C=\left( 3;-3;1 \right)\).
a) Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra I là tâm của đường tròn đường kính AB và có bán kính \(R=\dfrac{AB}{2}\).
Ta có
\(\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{I}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\dfrac{4+2}{2}=3 \\ & {{y}_{I}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=\dfrac{-3+1}{2}=-1 \\ & {{x}_{I}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2}=\dfrac{7+3}{2}=5 \\ \end{aligned} \right. \)
Suy ra \(I=\left( 3;-1;5 \right)\).
\(\overrightarrow{IA}=\left( 1;-2;2 \right)\Rightarrow R=\left| \overrightarrow{IA} \right|=3\)
Phương trình đường tròn có dạng chính tắc là
\({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=9\)
b) Ta có \(\overrightarrow{AC}=\left( -2;-1;0 \right)\)
Bán kính đường tròn tâm C và đi qua A là \(R=\left| \overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{5} \).
Phương trình chính tắc của đường tròn tâm C và đi qua A là
\( {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=5\)
Ghi nhớ: Phương trình chính tắc của hình cầu tâm \(O(a;b;c)\), bán kính R là:
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)