Giải bài 10 trang 63 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH.\) Đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) cắt các cạnh \(AB,\, AC\) và đường cao \(AH\) theo thứ tự tại các điểm \(B', \,C'\) và \(H'\) (h.16).
a) Chứng minh rằng: \(\dfrac{AH'}{AH} = \dfrac{B'C'}{BC}\)
b) Áp dụng: Cho biết \(AH' = \dfrac{1}{3}AH\) và diện tích tam giác \(ABC\) là \(67,5 cm^2.\) Tính diện tích tam giác \(A'B'C'.\)
Hướng dẫn:
a) Sử dụng hệ quả định lí Ta-lét và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh \(\dfrac{AH'}{AH} = \dfrac{B'C'}{BC}\)
b) Diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao và đáy.
Bài giải
a) Vì \(B'C' // BC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \dfrac{AH'}{AH} = \dfrac{B'H'}{BH} = \dfrac{H'C'}{HC}\) (hệ quả định lí Ta-lét)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{AH'}{AH} = \dfrac{B'H'}{BH} = \dfrac{H'C'}{HC} = \dfrac{B'H' + H'C'}{BH + HC} = \dfrac{B'C'}{BC} \)
Vậy \(\dfrac{AH'}{AH} = \dfrac{B'C'}{BC}\)
b) Ta có: \(AH' = \dfrac{1}{3}AH\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \dfrac{AH'}{AH} = \dfrac{1}{3}\)
Lại có: \(\dfrac{AH'}{AH} = \dfrac{B'C'}{BC}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{1}{3}\)
Gọi \(S\) và \(S'\) lần lượt là diện tích của tam giác \(ABC\) và \(A'B'C',\) ta có:
\(\dfrac{S'}{S} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AH'.B'C'}{\dfrac{1}{2}AH.BC} = \dfrac{AH'}{AH}.\dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}\)
\(\Rightarrow S' = \dfrac{1}{9}.S = \dfrac{1}{9}.67,5 = 7,5 \,\,(cm^2)\)
Vậy diện tích tam giác \(A'B'C'\) là \(7,5cm^2\)