Giải bài 16 trang 67 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh \(AB = m,\, AC = n\) và \(AD\) là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác \(ABD \)và diện tích của tam giác \(ACD\) bằng \(\dfrac{m}{n}.\)
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để chứng minh.
Bài giải
Kẻ \(AH \bot BC \,\,\,(H \in BC)\)
\(S_{\triangle{ABD}} = \dfrac{1}{2}BD.AH \,\,\,\,\,\, (1) \\ S_{\triangle{ACD}} = \dfrac{1}{2}CD.AH \,\,\,\,\,\, (2)\)
Lấy \((1)\) chia cho \((2)\) ta được:
\(\dfrac{S_{\triangle{ABD}}}{S_{\triangle{ACD}}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BD.AH}{\dfrac{1}{2}CD.AH} = \dfrac{BD}{CD} \,\,\,\,\, (3)\)
Lại có: \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)
\(\Leftrightarrow \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} \,\,\,\,\, (4)\)
Từ \((1), \, (2), \, (3)\) và \((4) \Rightarrow \dfrac{S_{\triangle{ABD}}}{S_{\triangle{ACD}}} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{m}{n}\) (đpcm)