Giải bài 47 trang 84 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh là \(3cm,\, 4cm,\, 5cm.\) Tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) và có diện tích là \(54cm^2.\) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(A'B'C'.\)
Gợi ý:
Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông theo định lý đảo của định lý Pytago
Sử dụng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng để tính độ dài các cạnh cảu tam giác A'B'C'
Giả sử \(ΔABC\) có độ dài ba cạnh lần lượt là \(AB = 3cm; \, AC = 4cm; \, BC = 5cm.\)
Ta có:
\(AB^2 = 3^2 = 9\)
\(AC^2 = 4^2 = 16\)
\(BC^2 = 5^2 = 25\)
Mà \(9 + 16 = 25\)
\( \Rightarrow AB^2 + AC^2 = BC^2\)
\( \Rightarrow ΔABC\) vuông tại \(A\) (định lí Pi-ta-go đảo)
Gọi \(S_{ΔABC}\) và \(S_{ΔA'B'C'}\) lần lượt là diện tích của \(ΔABC\) và \(ΔA'B'C'\) và có tỉ số đồng dạng là \(k.\)
\( ΔABC \backsim ΔA'B'C'\) (giả thiết)
\(\Rightarrow k^2 = \dfrac{S_{ΔA'B'C'}}{S_{ΔABC}} = \dfrac{54}{ \dfrac{1}{2}3.4 } = 9 \\ \Rightarrow k = 3\)
\( ΔABC \backsim ΔA'B'C'\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{B'C'}{BC} = k \\ \Rightarrow \dfrac{A'B'}{3} = \dfrac{A'C'}{4} = \dfrac{B'C'}{5} = 3 \\ \Rightarrow A'B' = 9 \,(cm) ; \,\, A'C' = 12 \, (cm); \,\, B'C' = 15 \, (cm)\)
Ghi nhớ:
Định lý đảo của định lý Pytago: "Nếu tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương một cạnh thì tam giác đó là tam giác vuông"
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng