Giải bài 8 trang 105 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho điểm S không thuộc mặt phẳng \((α)\) có hình chiếu trên \((α) \) là điểm H. Với điểm M bất kì trên \((α)\) và không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:
a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;
b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
Gợi ý:
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
b) Sử dụng định lý Pytago
Vì H là hình chiếu của S trên mặt phẳng \((\alpha)\) nên \(SH\bot (\alpha)\)
a) Giả sử HM và HN lần lượt là hình chiếu của SM, SN trên mặt phẳng (P).
Nếu \(SM=SN\) thì \(\Delta SHM =\Delta SHN\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Nên \(HM=HN\)
Ngược lại nếu \( HM=HN\) thì \(\Delta SHM =\Delta SHN\) (cặp cạnh góc vuông)
Nên \(SM=SN.\)
b) Áp dụng định lý Pytago ta có:
\(SM^2-HM^2=SN^2-HN^2 (=SH^2)\\ \Rightarrow SM^2-SN^2=HM^2-HN^2\)
Từ đó, ta có:
\(\Rightarrow SM > SN \Rightarrow SM^2> SN^2 \Leftrightarrow SM^2-SN^2>0 \\\Leftrightarrow HM^2-HN^2> 0\Rightarrow HM>HN\)