Giải bài 5 trang 79 – SGK môn Đại số lớp 10

Hướng dẫn:

Đặt \(\sqrt x =t\), xét hai trường hợp \(0\le x < 1; x\ge 1\)

Đặt \(\sqrt{x}=t\,\,\,\left( t\ge 0 \right)\) ta có:

\(x^4-\sqrt{x^5}+x-\sqrt{x}+1={{t}^{8}}-{{t}^{5}}+{{t}^{2}}-t+1 \)

Với \(0\le x<1\)  thì \(0\le t<1\)  và \({{t}^{8}}-{{t}^{5}}+{{t}^{2}}-t+1={{t}^{8}}+t^2\left( 1-{{t}^{3}} \right)+1-t>0\,\,\forall t\in \left[ 0;1 \right)\)

Với \(x\ge 1\)  thì \(t\ge 1\)  và \({{t}^{8}}-{{t}^{5}}+{{t}^{2}}-t+1={{t}^{5}}\left( {{t}^{3}}-1 \right)+t\left( t-1 \right)+1>0\,\,\forall t\in \left[ 1;+\infty \right)\)

Vậy \( {{x}^{4}}-\sqrt{{{x}^{5}}}+x-\sqrt{x}+1>0,\,\,\forall x>0 \)