Giải bài 6 trang 154 – SGK môn Đại số lớp 10

Hướng dẫn:

 - Từ giả thiết tính \(\sin \alpha +\cos \alpha\) và \(\sin \alpha \cos \alpha\).

- Ứng dụng hệ thức Vi - ét để tính  \(\sin a\) và \(\cos a\).

Ta có 

\(+) \sin 2a=-\dfrac{5}{9}\\ \begin{aligned} & \Leftrightarrow 2\sin a\cos a=-\dfrac{5}{9} \\ & \Leftrightarrow \sin a\cos a=-\dfrac{5}{18}\,(1) \\ \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} & \begin{aligned} & +){{\left( \sin a+\cos a \right)}^{2}}={{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a+2\sin a\cos a \\ & =1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9} \\ \end{aligned} \\ & \Leftrightarrow \sin a+\cos a=\pm \dfrac{2}{3}\, \\ \end{aligned} \)
Với \(\left\{ \begin{align} & \sin a+\cos a=\dfrac{2}{3}\, \\ & \sin a.\cos a=-\dfrac{5}{18} \\ \end{align} \right.\) thì \(\sin a\) và \(\cos a\) là nghiệm của phương trình \( {{x}^{2}}-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{18}=0\)
Suy ra \({{x}_{1}}=\dfrac{2+\sqrt{14}}{6};{{x}_{2}}=\dfrac{2-\sqrt{14}}{6}\)
Do \(\dfrac{\pi }{2}< a<\pi\)  nên \(\sin a>0,\cos a<0\).

Vậy \(\sin a=\dfrac{2+\sqrt{14}}{6};\cos a=\dfrac{2-\sqrt{14}}{6}\)
Với \(\left\{ \begin{align} & \sin a+\cos a=-\dfrac{2}{3}\, \\ & \sin a.\cos a=-\dfrac{5}{18} \\ \end{align} \right.\) thì \(\sin a\) và \(\cos a\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{18}=0\)
Suy ra \({{x}_{1}}=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{6};{{x}_{2}}=\dfrac{-2-\sqrt{14}}{6}\)
Do \(\dfrac{\pi }{2}< a<\pi\)  nên \(\sin a>0,\cos a<0\).

Vậy \(\sin a=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{6};\cos a=\dfrac{-2-\sqrt{14}}{6}\)