Giải bài 3 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) \(y=x^2+x\) tại \(x_0=1\);
b) \(y=\dfrac{1}{x}\) tại \(x_0=2\);
c) \(y=\dfrac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0=0\).
Gợi ý:
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa SGK trang 149.
a) Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=1\). Ta có:
\(\begin{align} & \Delta y=f\left( 1+\Delta x \right)-f\left( 1 \right)={{(1+\Delta x)}^{2}}+1+\Delta x-2 \\ & =1+2\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+1+\Delta x-2={{\left( \Delta x \right)}^{2}}+3\Delta x \\ & \Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+3\Delta x}{\Delta x}=\Delta x+3 \\ \end{align} \)
Ta có:
\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\left( \Delta x+3 \right)=3 \)
Vậy \(f'(1)=3\)
b) Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=2\). Ta có:
\(\begin{align} & \Delta y=f\left( 2+\Delta x \right)-f\left( 2 \right)=\dfrac{1}{2+\Delta x}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\Delta x}{2\left( 2+\Delta x \right)} \\ & \Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-1}{2\left( 2+\Delta x \right)} \\ \end{align} \)
Ta có:
\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{-1}{2\left( 2+\Delta x \right)}=\dfrac{-1}{4} \)
Vậy \(f'(2)=\dfrac{-1}{4}\)
c) Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=0\). Ta có:
\(\begin{align} & \Delta y=f\left( 0+\Delta x \right)-f\left( 0 \right)=\dfrac{\Delta x+1}{\Delta x-1}-\left( -1 \right)=\dfrac{2\Delta x}{\Delta x-1} \\ & \Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2}{\Delta x-1} \\ \end{align} \)
Ta có:
\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{2}{\Delta x-1}=-2 \)
Vậy \(f'(0)=-2\)