Giải bài 4 trang 92 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Xét tính tăng, giảm của các dãy số (\(u_n\)), biết:
a) \(u_n=\dfrac{1}{n}-2\); c) \(u_n=(-1)^n(2^n+1)\); | b) \(u_n=\dfrac{n-1}{n+1}\); d) \(u_n=\dfrac{2n+1}{5n+2}\). |
Hướng dẫn:
- Tính \(u_{n+1}-u_n\).
Nếu \(u_{n+1}-u_n>0\) thì dãy (\(u_n\)) là dãy tăng.
Nếu \(u_{n+1}-u_n<0\) thì dãy (\(u_n\)) là dãy giảm.
Hoặc:
Với \((u_n) \ne 0.\)
-Tính \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\).
Nếu \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}> 1\) thì dãy (\(u_n\)) là dãy tăng.
Nếu \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}< 1\) thì dãy (\(u_n\)) là dãy giảm.
Bài giải:
a) Ta có:
\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{n+1}-2-\dfrac{1}{n}+2=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}<0\)
\(\Rightarrow u_{n+1} < u_n\)với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
Vậy (\(u_n\)) là dãy số giảm.
b) Ta có:
\(\begin{align} & {{u}_{n}}=\dfrac{n-1}{n+1}=\dfrac{n+1-2}{n+1}=1-\dfrac{2}{n+1} \\ & \Rightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1-\dfrac{2}{n+2}-1+\dfrac{2}{n+1}=\dfrac{2}{n+1}-\dfrac{2}{n+2}>0\,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ & \Rightarrow {{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}\,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \)
Vậy (\(u_n\)) là dãy số tăng.
c) Ta có: \(u_1=-3;\,\,u_2=5;\,\,u_3=-9\) vì \(u_1 < u_2 > u_3\)
Nên \((u_n)\) là dãy số không tăng, không giảm.
d) Với \(n\in \mathbb N^*, \,\,u_n\ne 0\) ta có:
\(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{2n+3}{5n+7}.\dfrac{5n+2}{2n+1}=\dfrac{10{{n}^{2}}+19n+6}{10{{n}^{2}}+19n+7}<1\)
\(\Rightarrow u_{n+1} < u_n\,\,\, \forall n\in \mathbb N^*\)
Vậy (\(u_n\)) là dãy số giảm.