Giải bài 8 trang 122 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hai dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) và \(\left( {{v}_{n}} \right)\). Biết \(\lim {{u}_{n}}=3;\lim {{v}_{n}}=+\infty \)
Tính các giới hạn:
a) \( \lim \dfrac{3{{u}_{n}}-1}{{{u}_{n}}+1}\)
b) \(\lim \dfrac{{{v}_{n}}+2}{v_{n}^{2}-1} \)
Hướng dẫn:
a) Áp dụng: \(\lim \dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\lim u_n}{\lim v_n}\)
b) Chia cả tử và mẫu cho \(v_n^2\)
a) \(\lim \dfrac{3{{u}_{n}}-1}{{{u}_{n}}+1}=\dfrac{\lim \left( 3{{u}_{n}}-1 \right)}{\lim \left( {{u}_{n}}+1 \right)}=\dfrac{3\lim {{u}_{n}}-1}{\lim {{u}_{n}}+1}=\dfrac{3.3-1}{3+1}=2 \)
b) \( \lim \dfrac{{{v}_{n}}+2}{v_{n}^{2}-1}=\lim \dfrac{v_{n}^{2}\left( \dfrac{1}{{{v}_{n}}}+\dfrac{2}{v_{n}^{2}} \right)}{v_n^2\left(1-\dfrac{1}{v_{n}^{2}}\right)}=\lim \dfrac{\dfrac{1}{{{v}_{n}}}+\dfrac{2}{v_{n}^{2}}}{1-\dfrac{1}{v_{n}^{2}}}=0\)
(vì \(\lim \dfrac{1}{{{v}_{n}}}=\lim\dfrac{1}{v_n^2}=0\) )