Giải bài 1 trang 59 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì:
a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy;
b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy.
Hướng dẫn:
Sử dụng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng (SGK trang 57)
Xét tam giác ABC có:
P là trung điểm AB (gt)
Q là trung điểm BC (gt)
Suy ra PQ song song AC
Chứng minh tương tự ta cũng có: SR song song với AC
Do vậy PQ//SR hay P, Q, R, S đồng phẳng.
a) Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng chứa bốn điểm P, Q, R, S.
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \left( \alpha \right)\cap \left( ABC \right)=PQ \\ & \left( \alpha \right)\cap \left( ACD \right)=SR \\ & \left( ACD \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\ \end{align} \right. \)
Theo định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy.
b)
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng chứa bốn điểm P, Q, R, S.
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \left( \alpha \right)\cap \left( ABD \right)=PS \\ & \left( \alpha \right)\cap \left( BCD \right)=QR \\ & \left( ABD \right)\cap \left( BCD \right)=BD \\ \end{align} \right. \)
Theo định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy.
