Giải bài 4 trang 71 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho hình chóp S. ABCD. Gọi \(A_1\) là trung điểm của cạnh SA và \(A_2\) là trung điểm của đoạn \(AA_1\). Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua \(A_1, A_2\). Mặt phẳng (α) cắt các cạnh \( SB, SC, SD\) lần lượt tại \(B_1, C_1, D_1\) . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh \(SB, SC, SD\) lần lượt tại \(B_2, C_2, D_2\). Chứng minh:
a) \(B_1, C_1, D_1\) lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
b) \(B_1B_2 = B_2B, C_1C_2 = C_2C, D_1D_2 = D_2D.\)
c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
Gợi ý:
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang.
a) Vì \(\left( \alpha \right)//(\beta) //\left( ABCD \right)\) nên
\(\begin{align} & {{A}_{1}}{{B}_{1}}//{{A}_{2}}{{B}_{2}}//AB;\,\,{{B}_{1}}{{C}_{1}}//{{B}_{2}}{{C}_{2}}//BC \\ & {{C}_{1}}{{D}_{1}}//{{C}_{2}}{{D}_{2}}//CD;\,\,{{A}_{1}}{{D}_{1}}//{{A}_{2}}{{D}_{2}}//AD \\ \end{align} \)
Mà \(A_1\) là trung điểm của SA nên \(A_1B_1\) là đường trung bình của tam giác SAB. Do vậy \(B_1\) là trung điểm của SB.
Tương tự ta có \(C_1, D_1\) là trung điểm của SC và SD.
b)
Vì \(A_2\) là trung điểm của \(A_1A\) và \(A_2B_2//A_1B_1//AB\) nên \(A_2B_2\) là đường trung bình của hình thang \(A_1B_1BA\) nên \(B_1B_2=B_2B.\)
Tương tự ta cũng có: \(C_1C_2=C_2C; D_1D_2=D_2D\)
c) Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD là: \(A_2B_2C_2D_2.ABCD, A_1B_1C_1D_1.ABCD\)
