Giải bài 4 trang 78 - SGK Hình học lớp 11
Cho hình bình hành ABCD. Qua \(A, B, C, D\) lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng \(Ax, By, Cz, Dt\) ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng \((β)\) lần lượt cắt \( Ax, By, Cz\) và \(Dt\) tại \(A’, B’, C’\) và \(D’\).
a) Chứng minh mặt phẳng \((Ax, By)\) song song với mặt phẳng \((Cz, Dt)\)
b) Gọi \( I = AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’\). Chứng minh \(IJ\) song song với \(AA’.\)
c) Cho \(AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c\). Hãy tính \(DD’\).
Hướng dẫn:
- Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia.
a) Ta có: \(Ax//Dt;\,AB//CD\)
Suy ra \(mp(Ax, By)// mp(Cz, Dt)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & A'B'=\left( \beta \right)\cap \left( Ax;By \right) \\ & C'D'=\left( \beta \right)\cap \left( Cz;Dt \right) \\ & \left( Ax;By \right)//\left( Cz;Dt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow A'B'//C'D'\)
Chứng minh tương tự, ta cũng có: \(A'D'//B'C'\)
Do vậy, \(A'B'C'D'\) là hình bình hành.
Suy ra: \(J\) là trung điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\).
Lại có \( I\) là trung điểm của \(AC,\,BD\) (\(ACBD\) là hình bình hành)
Do vậy: \(IJ\) là đường trung bình của hình thang \( A'ACC'\)
Suy ra: \( IJ//AA'\)
c) Vì \(IJ\) là đường trung bình của hình thang \(AA’C’C\) nên theo tính chất đường trung bình của hình thang ta có:
\(IJ=\dfrac{AA'+CC'}{2}=\dfrac{a+c}{2}\)
Mặt khác, ta cũng có: \(IJ\) cũng là đường trung bình của hình thang \(BB’D’D\) nên
\(\begin{align} & IJ=\dfrac{BB'+DD'}{2}=\dfrac{b+DD'}{2} \\ & \Rightarrow \dfrac{b+DD'}{2}=\dfrac{a+c}{2} \\ & \Leftrightarrow DD'=a+c-b \\ \end{align}\)
