Giải bài 6 trang 126 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau BD' và B'C.
b) Tính khoảng cách của hai đường thẳng BD' và B'C
Gợi ý:
Xem lại lý thuyết cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài đoạn thẳng.
a) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên
\( \begin{align} & D'C'\bot \left( BB'C'C \right)\Rightarrow D'C'\bot B'C \\ & BC'\bot B'C \\ \end{align}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & B'C\bot BC' \\ & B'C\bot D'C' \\ \end{align} \right.\Rightarrow B'C\bot \left( D'C'B \right) \)
Gọi I là giao điểm của B’C và BC’.
Trong mặt phẳng (BC’D’) vẽ IK vuông góc với BD’ tại K.
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & IK\bot BD' \\ & IK\bot B'C \\ \end{align} \right. \)
IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng BD' và B'C
b) Gọi O là trung điểm của BD’.
Ta có:
OI là đường trung bình của tam giác D'BC' nên \(OI=\dfrac{D'C'}{2}=\dfrac{a}{2}\)
\(IB=\dfrac{BC'}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vì tam giác IOB vuông tại I nên
\(\begin{align} & \dfrac{1}{K{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{6}{{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow KI=\dfrac{a}{\sqrt{6}} \\ \end{align} \)
