Giải bài 7 trang 75 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:
A là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng"
B là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng"
a. Xem xét A và B có độc lập không?
b. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
c. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
Gợi ý:
Để chứng minh hai biến cố độc lập ta chứng minh:
\(P(A.B)=P(A).P(B)\)
Bài giải:
a. Số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega)=10 . 10 = 100\)
Số trường hợp lấy ra một quả cầu trắng ở hộp thứ nhất là 6
Số trường hợp lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ hai là 10.
\(n(A)= 6 . 10 = 60\)
\(\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{n((\Omega)}=\dfrac{6}{10}\)
Tương tự ta có:
\(n(B)=4 . 10 = 40\)
\(\Rightarrow P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{10}\)
Biến cố\( AB\) là biến cố lấy ra quả cầu ở hộp thứ nhất trắng và quả cầu ở hộp thứ hai là trắng:
\(\Rightarrow n(AB)=6.4=24\\\Rightarrow P(AB)=\dfrac{n(AB)}{n(\Omega)}=\dfrac{24}{100}\)
Ta có: \(P(AB)=P(A).P(B)\)
Vậy A và B là hai biến cố độc lập.
b. Gọi \(C\) là biến cố: "Lấy được quả cùng màu"
Ta có:
\(AB\) là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng trắng.
\(\overline{AB}\) là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng đen.
\(\Rightarrow C=AB\,\cup\,\overline{AB}\)
Do hai biến cố \(AB\) và \(\overline{AB}\) là hai biến cố xung khắc và \(A, B\) là hai biến cố độc lập nên:
\(P(C)=P(AB)+P(\overline {AB})=P(A).P(B)+P(\overline A).P(\overline B) =\dfrac{24}{100}+\dfrac{24}{100}=\dfrac{12}{25}\)
c. \(\overline C\) là biến cố lấy ra hai quả cầu khác màu.
\(P(\overline C)=1-P(C)=\dfrac{13}{25}\)
