Giải bài 52 trang 177 SGK giải tích nâng cao 12

Gợi ý: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol rồi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và các tiếp tuyến.

a) Ta có \(y'=2x-2 \)

\(y'\left( 3 \right)=2.3-2=4\)

Phương trình tiếp tuyến của parabol tại M là \(y=4\left( x-3 \right)+5=4x-7\)

Hoành độ giao điểm của Parabol và tiếp tuyến là nghiệm của phương trình

\({{x}^{2}}-2x+2=4x-7 \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9=0 \\ \Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}} \\ \Leftrightarrow x=3 \)

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(\begin{aligned} & S=\int\limits_{0}^{3}{\left| \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-\left( 4x-7 \right) \right|dx} \\ & =\int\limits_{0}^{3}{\left( {{x}^{2}}-6x+9 \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 3 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =9-27+27=9\text{(đvdt)} \\ \end{aligned} \)

b) Ta có: \(y'=-2x+4\Rightarrow y'\left( 0 \right)=4;y'\left( 3 \right)=-2\)

Phương trình tiếp tuyến của parabol tại A là \(y=4x-3 \).

Phương trình tiếp tuyến của parabol tại B là \(y=-2\left( x-3 \right)=-2x+6\).

Hoành độ giao điểm của hai tiếp tuyến là nghiệm của phương trình

\(4x-3=-2x+6\Leftrightarrow 6x=9\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(\begin{aligned} & S=\int\limits_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( 4x-3+{{x}^{2}}-4x+3 \right)dx}+\int\limits_{\frac{3}{2}}^{3}{\left( -2x+6+{{x}^{2}}-4x+3 \right)dx} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{3}{2}}{{{x}^{2}}dx}+\int\limits_{\frac{3}{2}}^{3}{\left( {{x}^{2}}-6x+9 \right)dx} \\ & =\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 0 \end{smallmatrix}}^{\frac{3}{2}} \right.+\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x \right)\left| _{\frac{3}{2}}^{\begin{smallmatrix} 3 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{9}{8}+9-27+27-\dfrac{9}{8}+\dfrac{27}{4}-\dfrac{27}{2} \\ & =\dfrac{9}{4}\,\text{(đvdt)} \\ \end{aligned} \)