Giải bài 77-78 trang 127 SGK giải tích nâng cao 12
Giải các phương trình:
77.a) \({{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{4.2}^{{{\cos }^{2}}x}}=6;\) b) \({{4}^{3+2\cos 2x}}-{{6.4}^{1+\cos 2x}}={{4}^{\frac{1}{2}}}\).
78.a) \({{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}=x+4;\) b) \({{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}+{{\left( \cos \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}=1\).
77.a) \({{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{4.2}^{{{\cos }^{2}}x}}=6\)
Đặt \({{\sin }^{2}}x=t,t\in \left[ 0;1 \right]\) phương trình trở thành
\({{2}^{t}}+{{4.2}^{1-t}}=6 \\ \Leftrightarrow {{2}^{2t}}-{{6}^{t}}+8=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{2}^{t}}=4 \\ & {{2}^{t}}=2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=2\,\left( \text{loại} \right) \\ & t=1 \\ \end{aligned} \right. \)
Với \(t=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=1\Leftrightarrow \sin x=\pm 1\)
\( \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{2}+k2\pi\,( k\in\mathbb{Z} ) \)
b) \({{4}^{3+2\cos 2x}}-{{6.4}^{1+\cos 2x}}={{4}^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Leftrightarrow {{4.4}^{2\left( 1+\cos 2x \right)}}-{{6.4}^{1+\cos 2x}}-2=0\)
Đặt \({{4}^{1+\cos 2x}}=t,t>0 \) phương trình trở thành
\(4{{t}^{2}}-6t-2=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=2 \\ & t=-\dfrac{1}{2}\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Với \(t=2\Leftrightarrow {{4}^{1+\cos 2x}}=2\Leftrightarrow 2\left( 1+\cos 2x \right)=1\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\)
78.a) \({{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}=x+4\)
Xét \(f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}\)
\(f'\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}.ln\dfrac{1}{3}<0\)
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên \(\mathbb R\).
Xét \(g\left( x \right)=x+4\)
\(g'\left( x \right)=1>0\)
Suy ra hàm số g(x) đồng biến trên \(\mathbb R\).
Mà \(f\left( -1 \right)=g\left( -1 \right)\)
\(\Rightarrow x=-1\) là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) \({{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}+{{\left( \cos \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}=1\)
Xét \(f\left( x \right)={{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}+{{\left( \cos \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\)
\(f'\left( x \right)={{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}.\ln \dfrac{\pi }{5}+{{\left( \cos \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}.\ln \dfrac{\pi }{5}<0 \)
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên \(\mathbb R\).
\(g(x) = 1\) là hằng số
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Mà \(f\left( 2 \right)=1\)
\(\Rightarrow x=2 \) là nghiệm duy nhất của phương trình.
Chú ý: Nếu f(x) đơn điệu và g(x) là một hằng số thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất.