Giải bài 1 trang 100 – SGK môn Giải tích lớp 12
Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?
a) \({{e}^{-x}}\) và \(-{{e}^{-x}};\)
b) \(\sin 2x\) và \({{\sin }^{2}}x;\)
c) \({{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}\) và \({{e}^{x}}\left( 1-\dfrac{4}{x} \right){{e}^{x}}\).
Hướng dẫn:
Hàm số f(x) được gọi là nguyên hàm của hàm g(x) nếu \(f'(x) = g(x).\)
a) \({{e}^{-x}}\) và \(-{{e}^{-x}};\)
Ta có: \(\left( {{e}^{-x}} \right)'=-{{e}^{-x}}\)
Vậy \({{e}^{-x}}\) là nguyên hàm của \(-{{e}^{-x}}.\)
b) \(\sin 2x\) và \({{\sin }^{2}}x;\)
Ta có:
\(\left( \sin 2x \right)'=2\cos 2x \\ \left( {{\sin }^{2}}x \right)'=2\sin x.\left( \sin x \right)'=2\sin x\cos x=\sin 2x \)
Vậy \(\sin^2x\) là nguyên hàm của \(\sin 2x\).
c) \({{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}{{e}^{x}}\) và \(\left( 1-\dfrac{4}{x} \right){{e}^{x}}\).
Ta có:
\(\begin{aligned} \left[ {{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}{{e}^{x}} \right]'&=2\left( 1-\dfrac{2}{x} \right).\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)'.{{e}^{x}}+\left( 1-\dfrac{2}{x} \right){{e}^{x}} \\ &=2\left( 1-\dfrac{2}{x} \right).\dfrac{2}{{{x}^{2}}}{{e}^{x}}+\left( 1-\dfrac{2}{x} \right).{{e}^{x}} \\ & =\left( \dfrac{4}{{{x}^{2}}}-\dfrac{8}{{{x}^{3}}}-\dfrac{2}{x}+1 \right){{e}^{x}} \\ & ={{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{3}}{{e}^{x}} \\ \end{aligned} \\ \begin{align} \left[ \left( 1-\dfrac{4}{x} \right){{e}^{x}} \right]'&=\dfrac{4}{{{x}^{2}}}{{e}^{x}}+\left( 1-\dfrac{4}{x} \right){{e}^{x}} \\ & =\left( \dfrac{4}{{{x}^{2}}}-\dfrac{4}{x}+1 \right){{e}^{x}} \\ & ={{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}{{e}^{x}} \end{align}\)
Vậy \(\left( 1-\dfrac{4}{x} \right){{e}^{x}}\) là nguyên hàm của \({{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}{{e}^{x}}\).