Giải bài 1 trang 23 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn: Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:

1. Tìm các điểm \(x_1,x_2,...,x_n\) trên khoảng (a; b) tại đó \(f'(x)\) bằng 0 hoặc không xác định.

2. Tính \(f(a),f(x_1),f(x_2),...,f(x_n),f(b)\).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có

\(\max\limits_{x\in \left[ a;b \right]}\,f(x)=M;\,\min\limits_{x\in \left[a;b \right]}\,f(x)=m\)

$a) <span\; class="math-tex">\backslash (y=x^3-3x^2-9x+35\backslash )</span>$

* Xét \(D=[-4; 4] \)$.$ Hàm số liên tục trên \([-4; 4] \).

       \(y'=3{{x}^{2}}-6x-9;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\in D \\ & x=-1\in D \\ \end{align} \right. \)

        Ta có: \(y(-4)=-41; y(4)=15; y(3)=8; y(-1)=40\)$.$

        Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ -4;\,4 \right]}\,y=40;\,\min\limits_{x\in \left[ -4;\,4 \right]}\,y=-41 \)$.$

* Xét \(D=[0; 5]\)$.$ Hàm số liên tục trên \([0; 5].\)

        \(y'=3{{x}^{2}}-6x-9;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\in D \\ & x=-1\notin D \\ \end{align} \right. \)

        Ta có: \(y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8\)$.$

        Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ 0;\,5 \right]}\,y=40;\,\min\limits_{x\in \left[ 0;5 \right]}\,y=8\)$.$

$b) <span\; class="math-tex">\backslash (y=x^4-3x^2+2\backslash )</span>$

* Xét \(D=[0; 3] \)$.$ Hàm số liên tục trên \([0; 3]\)$$.

        \(y'=4{{x}^{3}}-6x=2x\left( 2{{x}^{2}}-3 \right);\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\in D \\ & x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\in D \\ & x=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin D \\ \end{align} \right. \)

        Ta có:\( y(0)=2; y(3)=56; y\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)=-\dfrac{1}{4}\)$.$

        Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ 0;\,3 \right]}\,y=56;\,\min\limits_{x\in \left[ 0;3 \right]}\,y=-\dfrac{1}{4} \)$.$

* Xét \(D=[2; 5]\)$.$ Hàm số liên tục trên \([2; 5]\).

        \(y'=4{{x}^{3}}-6x=2x\left( 2{{x}^{2}}-3 \right);\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\notin D \\ & x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin D \\ & x=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin D \\ \end{align} \right. \)

        Ta có: \(y(2)=6; y(5)=552\)$.$

        Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ 0;\,3 \right]}\,y=6;\,\min\limits_{x\in \left[ 0;3 \right]}\,y=552 \)

c) \(y=\dfrac{2-x}{1-x}\)

* Xét \(D=[2; 4] \)$.$ Hàm số liên tục trên \([2; 4]\)$$.

       \(y'=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0;\,\forall x\ne 1 \)$.$

        Ta có: \(y(2)=0; y(4)=23\)$.$

        Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ 2;\,4 \right]}\,y=0;\,\min\limits_{x\in \left[ 2;\,4 \right]}\,y=\dfrac{2}{3} \)

* Xét \(D=[-3; -2]\)$.$ Hàm số liên tục trên \( [-3; -2]\).

        \(y'=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0;\,\forall x\ne 1 \)$$

        Ta có: \(y(-3)=\dfrac{5}{4}; y(-2)=\dfrac{4}{3}\)$.$

        Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ -3;\,-2 \right]}\,y=\dfrac{5}{4};\,\min\limits_{x\in \left[ -3;\,-2 \right]}\,y=\dfrac{4}{3} \)$.$

$d) <span\; class="math-tex">\backslash (y=\backslash sqrt\{5-4x\}\backslash )</span>$

Xét \(D=[-1; 1]\)$.$ Hàm số liên tục trên \([-1; 1]\)$$.

        \(y'=\dfrac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0,\,\forall x\in \left[ -1;\,1 \right] \)

        Ta có: \(y(-1)=3; y(1)=1\)$.$

        Vậy \(\min\limits_{x\in \left[ -1;\,1 \right]}\,y=1;\,\max\limits_{x\in \left[ -1;\,1 \right]}\,y=3\)