Giải bài 2 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) \(y=-{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1\)
b) \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)
c) \(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}\)
d) \(y=-2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+3 \)
Hướng dẫn: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn
* Tìm tập xác định
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: Tính \(y'\) và giải phương trình \(y'=0\). Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+) Cực trị: Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.
+) Giới hạn tại vô cực: Tính \(\lim\limits_{x\to \pm\infty }\,y\)
+) Lập bảng biến thiên
* Vẽ đồ thị hàm số
a) \(y=-{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=-4{{x}^{3}}+16x=-4x\left( {{x}^{2}}-4 \right);\, \\y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 2 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\,\text{và}\,\left( 0;\,2 \right)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -2;\,0 \right)\) và \(\left( 2;\,+\infty \right)\)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=\pm2;\,y_{CĐ}=15\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\,y_{CT}=-1\).
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(-1+ \dfrac{8}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{4}}} \right) \right]=-\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(-1+ \dfrac{8}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{4}}} \right) \right]=-\infty \)
+Bảng biến thiên
b) \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=4x^3-4x=4x(x^2-1);\,\\y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;\,-1)\,\text{và}\,(0;\,1)\).
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;\,0)\) và \((1;\,+\infty)\).
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,y_{CĐ}=2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm1;\,y_{CT}=1\).
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(1- \dfrac{2}{{{x}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{4}}} \right) \right]=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(1- \dfrac{2}{{{x}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{4}}} \right) \right]= +\infty \)
+) Bảng biến thiên
c) \(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=2{{x}^{3}}+2x=2x\left( {{x}^{2}}+1 \right);\,\\y'=0\Leftrightarrow x=0\)
Hàm số đồng biến trên \((0;\,+\infty)\) và nghịch biến trên \((-\infty;\,0)\).
+) Cực trị
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\,y_{CT}=-\dfrac{3}{2}\) và không có cực đại.
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{x}^{4}}} \right) \right]=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{x}^{4}}} \right) \right]= +\infty \)
+) Bảng biến thiên
d) \(y=-2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+3 \)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=-4x-4{{x}^{3}}=-4x\left( 1+{{x}^{2}} \right);\,\\y'=0\Leftrightarrow x=0\)
Hàm số đồng biến trên \((-\infty;\,0)\) và nghịch biến trên \((0;\,+\infty)\).
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,y_{CĐ}=3\) và không có cực tiểu.
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ - {{x}^{4}}\left(2 + \dfrac{2}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{{{x}^{4}}} \right) \right]= -\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ - {{x}^{4}}\left(2 + \dfrac{2}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{{{x}^{4}}} \right) \right]= -\infty \)
+) Bảng biến thiên
