Giải bài 5 trang 10 – SGK môn Giải tích lớp 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b ) \(\tan x > x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\,\left( 0 < x <\dfrac{\pi }{2} \right)\) .
Hướng dẫn: Để chứng minh \(\tan x > x\,\,\left( 0 < x < \dfrac{\pi }{2} \right)\) ta chứng minh hàm số \(y=f\left( x \right)=\tan x-x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)\).
Ý b tương tự.
a) Xét hàm số \(y=f\left( x \right)=\tan x-x\) trên nửa khoảng \(\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)\)
Ta có: \(f'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1>0,\forall x\in \left( 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)\).
Với \(0 < x < \dfrac{\pi }{2}\) ta có \(f\left( x \right)>f\left( 0 \right)\Rightarrow \tan x>x,\,\forall x\in \left( 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)\)
b) Xét hàm số \(y=g\left( x \right)=\tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\) trên nửa khoảng \(\,\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)\).
Ta có:
\(g'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}} \\=tan^2x-x^2\\=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right)>0,\forall x\in \left( 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)\).
Với \(0 < x < \dfrac{\pi }{2}\) ta có \(g\left( x \right)>g\left( 0 \right)\Rightarrow \tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3},\,\forall x\in \left( 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)\)