Giải bài 5 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12

Gợi ý:

a) Dựa vào định lí về cạnh và góc trong tam giác vuông tìm tọa độ điểm M và viết phương trình đường thẳng OM. Sau đó tính thể tích theo công thức.

b) Đặt \(cos \alpha=t\) sử dụng ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.

a) Ta có

\(OP=OM.\cos \alpha =R.cos\alpha \\ PM=OM.sin\alpha =Rsin\alpha \\ \Rightarrow M\left( R\cos \alpha ;\,R\sin \alpha \right) \)

Đường thẳng OM đi qua gốc tọa độ và có góc hợp bởi OM và Ox bằng \(\alpha\)

Phương trình đường thẳng \(OM:\,y=\left( \tan \alpha \right).x\)

Thể tích cần tìm là

\(\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{0}^{R\cos \alpha }{{{x}^{2}}{{\tan }^{2}}\alpha dx} \\ & =\pi {{\tan }^{2}}\alpha .\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} R\cos \alpha \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{3}\left( \cos \alpha -co{{s} ^{3}}\alpha \right)\,\left( \text{đvtt} \right) \\ \end{aligned} \)

b) Đặt \(t=\cos \alpha \Rightarrow t\in \left[ \dfrac{1}{2};\,1 \right]\) vì \(\left( \alpha \in \left[ 0;\,\dfrac{\pi }{3} \right] \right)\)

\(V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{3}\left( t-{{t}^{3}} \right) \\ V'=\dfrac{\pi {{R}^{3}}}{3}\left( 1-3{{t}^{2}} \right)\, \\ V'=0\Leftrightarrow t=\left[ \begin{aligned} & t=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ & t=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \)

\(\max\limits_{\left[ 0;\,\frac{\pi }{3} \right]} \,V\left( \alpha \right)=\max\limits_ {\left[ 0;\,\frac{\pi }{3} \right]} \,V\left( t \right)= V\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{2\sqrt{3}\pi {{R}^{3}}}{3} \\ \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \alpha =\arccos \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \)