Giải bài 2 trang 138 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tìm nghịch đảo \(\dfrac{1}{z}\) của số phức \(z\), biết:
a) \(z=1+2i\);
b) \(z=\sqrt{2}-3i\);
c) \(z=i\);
d) \(z=5+i\sqrt{3}\).
a) \(z=1+2i\)
\(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{1+2i}=\dfrac{1-2i}{5}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i\)
b) \(z=\sqrt{2}-3i\)
\(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\sqrt{2}-3i}=\dfrac{\sqrt{2}+3i}{11}=\dfrac{\sqrt{2}}{11}+\dfrac{3}{11}i\)
c) \(z=i\)
\(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{i}=-i\)
d) \(z=5+i\sqrt{3}\).
\(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{5+i\sqrt{3}}=\dfrac{5-i\sqrt{3}}{28}=\dfrac{5}{28}-\dfrac{\sqrt{3}}{28}i \)
Ghi nhớ: Cho hai số phức \(z=a+bi\) và \(z'=c+di\). Khi đó \(\dfrac{z}{z'}=\dfrac{z.\overline{z'}}{{{\left| z' \right|}^{2}}}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( c-di \right)}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\).
Nghịch đảo của số phức \(z\) là \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\dfrac{ a-bi }{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).