Giải bài 2 trang 77 - SGK Hình học lớp 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của đoạn thẳng SA, BC, CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, hãy tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP).
Hướng dẫn:
- Để tìm thiết diện của của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng, ta xác định các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp.
- Để tìm giao tuyến của đường thẳng và mặt phẳng, ta xác định một đường thẳng trong mặt phẳng đồng phẳng với đường thẳng đó.
Gọi E là giao điểm của NP và AB.
Vì E thuộc AB nên E thuộc mp(SAB)
Trong mặt phẳng (SAB) gọi R là giao điểm của EM và SB.
Ta có:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & E\in NP\subset \left( MNP \right) \\ & M\in \left( MNP \right) \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow EM\subset \left( MNP \right) \\ & \Rightarrow R=EM\cap SB \\ & \Rightarrow R=\left( MNP \right)\cap SB \\ \end{aligned} \)
Tương tự ta có: F là giao điểm của NP và AD. Vì F thuộc AD nên F thuộc mp(SAD)
Trong mặt phẳng (SAD) gọi Q là giao điểm của MF và SD.
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & F\in NP\subset \left( MNP \right) \\ & M\in \left( MNP \right) \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow FM\subset \left( MNP \right) \\ & \Rightarrow Q=FM\cap SD \\ & \Rightarrow Q=\left( MNP \right)\cap SD \\ \end{aligned}\)
Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (MNP) là ngũ giác: MRNPQ.
Gọi \(H=NP\cap AC\Rightarrow H\in \left( SAC \right)\)
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của SO và MH.
Ta có:\( \left\{ \begin{align} & I\in SO \\ & I\in MH\subset \left( MNP \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow I=SO\cap \left( MNP \right) \)