Giải bài 5 trang 121 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có \(AB=a, AC=b\). Tam giác ADC vuông tại D có \(CD = a\).
a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông.
b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
a) Theo giả thiết, ta có: \(\left( ABC \right)\bot \left( ADC \right)\) và
\(\left\{ \begin{aligned} & \left( ABC \right)\cap \left( ADC \right)=AC \\ & AB\bot AC \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( ADC \right) \)
Do đó:\( AB\bot AD\) nên AD là hình chiếu vuông góc của BD trên \((ADC)\)
Mà \(AD\bot DC\)
Theo định lý ba đường vuông góc ta có: \(BD\bot DC\)
Hay tam giác \(BDC\) vuông tại \(D\).
b) Vì \(ABC\) và \(BDC\) là các tam giác vuông tại \(A\) và \(D\). Lại có \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên
\(\left\{ \begin{aligned} & AK=\dfrac{1}{2}BC \\ & DK=\dfrac{1}{2}BC \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AK=DK \)
Suy ra tam giác \(AKD\) cân tại \(K\). Mà I là trung điểm của \(AD\) nên \(KI\bot AD\) (1)
Mặt khác hai tam giác vuông \(BAD\) và \(CAD\) có: \( \left\{ \begin{aligned} & AD\,\,\text{chung} \\ & AB=DC=a \\ \end{aligned} \right. \)
Nên hai tam giác \(BAD\) và \(CAD\) bằng nhau.
Suy ra \(BI=CI\) (hai đường trung tuyến tương ứng)
Do đó, tam giác \(BIC\) cân tại I có K là trung điểm \(BC\) nên \(IK\bot BC\) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra IK là đường vuông góc chung của đường thẳng \(AD\) và \(BC\)