Giải bài 6 trang 119 – SGK môn Hình học lớp 11
Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì \(AC = BD\) và \(AD = BC\).
Hướng dẫn:
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và DC, qua K kẻ đường thẳng d song song với AB.
Trên d lấy hai điểm A' và B' sao cho \(A'B'=AB\) và K là trung điểm của A'B'.
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Qua K kẻ đường thẳng d song song với AB.
Trên d lấy hai điểm A' và B' sao cho \(A'B'=AB\) và K là trung điểm của A'B'.
Ta có: \(B'C=A'D\) (vì \(\Delta KCB'=\Delta KDA'\))
Ta có: \(IK\bot AB;AB//A'B' \Rightarrow IK\bot A'B' \)
và \(\\IK\bot CD\)
nên \( IK\bot (A'DB'C)\)
Vì \(AA'B'B\) là hình bình hành nên \(BB'//IK//AA' \)
Suy ra \(\left\{ \begin{aligned} & BB'\bot (A'DB'C) \\ & AA'\bot \left( A'DB'C \right) \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & BB'\bot CB' \\ & AA'\bot A'D \\ \end{aligned} \right. \)
Xét hai tam giác vuông \(BCB'\) và \(ADA'\) có: \(BB'=AA';\,B'C=A'D\)
Nên suy ra: \(AD=BC\).
Chứng minh tương tự ta có \(AC=BD.\)