Giải bài 56 trang 80 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.
Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông.
a) Giả sử \(ΔABC\) vuông góc tại \(A.\) Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh góc vuông \(AB, \,AC\) cắt nhau tại \(M.\) Ta chứng minh \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
Vì \(M\) là giao điểm hai đường trung trực \(d_1, \,d_2\) của \(AB, \,AC\) mà \(AB \bot AC\) nên \(B,\, M,\, C\) thẳng hàng (Bài tập 55)
Vì \(M\) thuộc đường trung trực của \(AB\) nên \(MA = MB. \,\,\, (1)\)
Vì \(M\) thuộc đường trung trực của \(AC\) nên \(MA = MC.\)
\( \Rightarrow MB = MC \,\,\, (2)\)
Do \(B, \,M, \,C\) thẳng hàng và \(M\) cách đều \(BC\) nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)
b) Từ \((1)\) và \((2)\) ở câu a) suy ra:
\(MA = MB = MC = \dfrac{BC}{2}\)
Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền.
Nhận xét:
Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.