Giải bài 67 trang 87 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Cho tam giác \(MNP\) với trung tuyến \(MR\) và trọng tâm \(Q.\)
a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \(MNP\) và \(RPQ.\)
b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \(MNQ\) và \(RNQ.\)
c) So sánh các diện tích của hai tam giác \(RPQ\) và \(RNQ.\)
Từ kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác \(QMN, \,QNP,\, QPM\) có cùng diện tích.
Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu \(a, \,b,\, c\) có chung đường cao.
a) Vẽ \(PB ⊥ MR\)
Vậy tam giác \(MPQ\) và \(RPQ\) có chung đường cao \(PB\)
Vì \(Q\) là trọng tâm của \(ΔMNP\) nên \(MQ = 2QR\)
Ta có: \(S_{ΔMPQ }= \dfrac{1}{2}.MQ.PB = \dfrac{1}{2}.2.QR.PB = QR.PB\)
Và \(S_{ΔRPQ} = \dfrac{1}{2}.QR.PB\)
Vậy \(\dfrac{S_{ΔMPQ}}{S_{ΔRPQ}} = \dfrac{QR.PB}{\dfrac{1}{2}QR.PB} = 2.\)
b) Vẽ \(NA ⊥ MR\)
Vậy \(NA\) là đường cao của \(ΔMNQ\) đồng thời là đường cao của \(ΔRNQ.\)
Vì \(Q\) là trọng tâm của \(ΔMNP\) nên \(MQ = 2QR\)
Ta có: \(S_{ΔMNQ} = \dfrac{1}{2}.MQ.NA = \dfrac{1}{2}.2QR.NA = QR.NA\)
Và \(S_{ΔRNQ} = \dfrac{1}{2}.QR.NA\)
Vậy \(\dfrac{S_{ΔMNQ}}{S_{ΔRNQ}} = \dfrac{QR.NA}{\dfrac{1}{2}QR.NA} = 2.\)
c) Xét hai tam giác vuông \(ANR\) và \(BPR,\) ta có:
\(RN = RP\) (giả thiết)
\(\widehat{NRA} = \widehat{PRB}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow ΔANR = ΔBPR\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow NA = PB\) (cặp cạnh tương ứng)
Ta có: \(S_{ΔRPQ} = \dfrac{1}{2}.QR.PB = \dfrac{1}{2}.QR.NA = S_{ΔRNQ}\)
Vậy \(S_{ΔRPQ} = S_{ΔRNQ}\)