Giải bài 58 trang 92 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66).
a) Chứng minh BK = CH.
b) Chứng minh KH//BC.
c) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Hướng dẫn câu c):
-Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.
-Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.
a) Xét hai tam giác vuông \(BKC\) và \(CHB\) có:
\( \widehat{KBC} = \widehat{HCB }\) (\(∆ABC\) cân tại \(A\))
\(BC\) là cạnh chung (giả thiết)
\(\Rightarrow ∆BKC = ∆CHB\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow BK = CH\) (2 cạnh tương ứng)
b) Ta có : \(AK = AB - BK,\, AH = AC - HC\) (giả thiết)
Mà \(AB = AC\) (\(∆ABC\) cân tại \(A\))
\(BK = CH\) (cmt) \(\Rightarrow AK = AH\)
Do đó: \(\dfrac{AK}{AB} = \dfrac{AH}{AC}\)
\(\Rightarrow KH // BC\) (định lí Ta-lét đảo)
c) \(BH\) cắt \(CK\) tại \(M \Rightarrow M\) là trực tâm của \(∆ABC\) (định nghĩa trực tâm)
\(\Rightarrow AM ⊥ BC\) tại \(I\) (tính chất trực tâm)
Xét \(∆AIC\) và \(∆BHC\) có:
\(\widehat{I} = \widehat{H } = 90^o\)
\(\widehat{C}\) chung
\(\Rightarrow ∆AIC \backsim ∆BHC\) (g - g)
\(\Rightarrow \dfrac{IC}{HC} = \dfrac{AC}{BC}\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)
\(\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{HC} = \dfrac{b}{a}\\ \Rightarrow HC = \dfrac{BC.AH}{AC}\\ \Rightarrow HK = \dfrac{a}{b}. \dfrac{2b^2 - a^2}{2b} = \dfrac{2ab^2 - a^3}{2b^2} = a - \dfrac{a^3}{2b^2}\)