Giải bài 85 trang 109 - SGK Toán lớp 8 tập 1
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD.\) Gọi \(E,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\,CD.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE,\,N\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE.\)
a) Tứ giác \(ADFE\) là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác \(EMFN\) là hình gì? Vì sao?
a) Xét tứ giác \(ADFE\) có:
\(AE // DF,\,AE = DF\) (giả thiết)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(ADEF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành \(ADFE\) có:
\(\widehat{A} = 90^o \Rightarrow ADFE\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Theo giả thiết \(AB = 2AD\) và \(AE = \dfrac{AB}{2}\) nên \(AE = AD = \dfrac{AB}{2}\)
Hình chữ nhật \(ADFE\) có \(AE = AD\) nên là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)
b) Xét tứ giác \(DEBF\) có:
\(EB // DF,\,EB = DF\) (giả thiết)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(DEBF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
\(\Rightarrow DE // BF\) (tính chất hình bình hành)
Xét tứ giác \( AECF\) có:
\(EA // CF,\,EA = CF\) (giả thiết)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
\(\Rightarrow AF // EC\) (tính chất hình bình hành)
Xét tứ giác \(EMFN\) có:
\(DE // BF,\,AF = EC\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Theo câu a, \(ADFE\) là hình vuông nên \(ME = MF,\,ME \bot MF\) (tính chất hình vuông)
Hình bình hành \(EMFN\) có \(\widehat{M} = 90^o \Rightarrow ADFE\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Lại có \(ME = MF\) nên là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)
Lưu ý: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.