Giải bài 89 trang 111 - SGK Toán 8 Tập 1
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB,\, E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(D.\)
a) Chứng minh rằng điểm \(E\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(AB\)
b) Các tứ giác \(AEMC,\,AEBM\) là hình gì? Vì sao?
c) Cho \(BC = 4cm,\) tính chu vi tứ giác \(AEBM\)
d) Tam giác vuông \(ABC,\) có điều kiện gì thì \(AEBM\) là hình vuông?
a) Ta có \(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\))
\(BD = DA\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\))
\(\Rightarrow MD\) là đường trung bình của \(ΔABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow MD // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Lại có: \(AC \,\bot \,AB\) (giả thiết)
\(\Rightarrow MD\, \bot \,AB\) (định lí từ vuông góc đến song song)
Hay \(MD \,\bot\, ME\) tại \(D\)
Lại có \(DE = DM\) (vì \(D\) là trung điểm của \(ME\))
\(\Rightarrow AB\) là đường trung trực của \(ME\) (tính chất đường trung trực)
Hay \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(AB\)
b) Ta có: \(EM // AC\) (do \(MD // AC\))
\(EM = AC\) (cùng bằng \(2DM\))
Nên \(AEBM\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Lại có: \(AB\, \bot \,EM\)
\(\Rightarrow AEBM\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có: \(BC = 4cm \Rightarrow BM = 2cm\) (tính chất trung tuyến)
Chu vi hình thoi \(AEBM\) bằng: \(4.BM = 4.2 = 8 \,(cm)\)
d) Cách 1:
Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(\Leftrightarrow AB = EM \Leftrightarrow AB = AC\)
Vậy nếu tam giác vuông \(ABC\) có thêm điều kiện \(AB = AC\) (tức là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\)) thì \(AEBM\) là hình vuông.
Cách 2:
Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông
\(\Leftrightarrow ΔABC\) có trung tuyến \(AM\) là đường cao
\(\Leftrightarrow ΔABC\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Vậy nếu \(ΔABC\) vuông có thêm điều kiện cân thì \(AEBM\) là hình vuông.
Lưu ý: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.