Giải bài 2 trang 94 – SGK môn Đại số lớp 10
Giải các bất phương trình
\(a)\,\dfrac 2 {x-1}\le \dfrac 5 {2x-1}\)
\(b)\,\dfrac 1 {x+1}<\dfrac 1 {(x-1)^2}\)
\(c)\,\dfrac 1 x+\dfrac 2 {x+4}<\dfrac 3 {x+3}\)
\(d)\,\dfrac {x^2-3x+1}{x^2-1}<1\)
Hướng dẫn:
Chuyển vế rồi quy đồng đưa các bất phương trình về dạng tích thương các nhị thức bậc nhất
a) Điều kiện xác định:
\(x\ne 1;x\ne \dfrac 1 2\)
Ta có:
\(\begin{aligned} & \,\dfrac{2}{x-1}\le \dfrac{5}{2x-1} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2}{x-1}-\dfrac{5}{2x-1}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2\left( 2x-1 \right)-5\left( x-1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{-x+3}{\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right)}\le 0 \\ \end{aligned}\)
Đặt \(f(x)=\dfrac{-x+3}{(x-1)(2x-1)}\)
Ta có: \( \left\{ \begin{aligned} & -x+3=0 \\ & x-1=0 \\ & 2x-1=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=3 \\ & x=1 \\ & x=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu:
\(f(x) \le 0\) khi \(x\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)\cup [3;+\infty) \)
Vậy \(S= \left( \dfrac{1}{2};1 \right)\cup [3;+\infty) \)
b) Điều kiện xác định \(x\ne \pm 1\)
Ta có:
\(\begin{aligned} & \dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}-\left( x+1 \right)}{\left( x+1 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-3x}{\left( x+1 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{x\left( x-3 \right)}{x+1}<0 \\ \end{aligned} \)
Đặt \(f(x)=\dfrac{x\left( x-3 \right)}{x+1} \)
Có: \(\left\{ \begin{aligned} & x=0 \\ & x-3=0 \\ & x+1=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=3 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có:
\(f(x)<0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 1;3 \right) \)
Vậy \(S=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 1;3 \right) \)
c)
Điều kiện xác định \(x\ne 0;x\ne -4;x\ne -3 \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+4}<\dfrac{3}{x+3} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+4}-\dfrac{3}{x+3}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x+3 \right)+2x\left( x+3 \right)-3x\left( x+4 \right)}{x\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{x+12}{x\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}<0 \\ \end{aligned} \)
Đặt \( f\left( x \right)=\dfrac{x+12}{x\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)} \)
Ta có bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu ta có:
\(f(x)<0\Leftrightarrow x\in (-12;-4)\cup(-3;0)\)
Vậy \(S= (-12;-4)\cup(-3;0)\)
d) Điều kiện xác định \(x\ne \pm 1 \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & \dfrac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}<1 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}-1<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-3x+1-{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{-3x+2}{\left( x-1 \right)\left( x-1 \right)}<0 \\ \end{aligned} \)
Đặt \(f\left( x \right)=\dfrac{-3x+2}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)} \)
Ta có bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu ta có:
\(f(x)<0\Leftrightarrow x\in \left(-1;\dfrac 2 3\right)\cup (1;+\infty)\)
Vậy \(S= \left(-1;\dfrac 2 3\right)\cup (1;+\infty)\)