Giải bài 4 trang 45 – SGK Hình học lớp 10
Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho hai điểm \(A(1;3),B(4;2)\).
a) Tìm tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục \(Ox\) sao cho \(DA=DB\);
b) Tính chu vi tam giác \(OAB\);
c) Chứng tỏ \(OA\) vuông góc với \(AB\) và từ đó tính diện tích tam giác \(OAB\).
Hướng dẫn
a) Áp dụng \(AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\)
b) Tính độ dài từng cạnh của tam giác.
c) Chứng minh \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB}=0\)
a) Điểm \(D \in Ox\) nên \(D(x;0)\)
\(\begin{align} & DA=DB \\ & \Leftrightarrow D{{A}^{2}}=D{{B}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}={{\left( 4-x \right)}^{2}}+{{\left( 2-0 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 1-2x+{{x}^{2}}+9=16-8x+{{x}^{2}}+4 \\ & \Leftrightarrow 6x=10 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{5}{3} \\ & \Rightarrow D\left( \frac{5}{3};0 \right) \\ \end{align} \)
b) Ta có:
\(\begin{align} & O{{A}^{2}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10\Rightarrow OA=\sqrt{10}; \\ & O{{B}^{2}}={{4}^{2}}+{{2}^{2}}=20\Rightarrow OB=2\sqrt{5}; \\ & A{{B}^{2}}={{\left( 4-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}={{3}^{2}}+{{1}^{2}}=10\Rightarrow AB=\sqrt{10} \\ \end{align} \)
Chu vi tam giác \(OAB\) là:
\(OA+OB+AB=\sqrt{10}+2\sqrt{5}+\sqrt{10}=2(\sqrt{10}+\sqrt{5})\)
c) \(\overrightarrow{OA}=\left( 1;3 \right),\overrightarrow{AB}=\left( 3;-1 \right)\)
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB}=1.3+3.\left( -1 \right)=0\Rightarrow OA\bot OB\)
Diện tích tam giác \(OAB\) là:
\(\dfrac{1}{2}.OA.AB=\dfrac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10}=5\) (đvdt)