Hệ trục tọa độ - Hình học toán lớp 10

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm \(O\) gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị \(\overrightarrow{e}\).

Ta kí hiệu trục đó là \((O;\overrightarrow{e})\).

b) Cho \(M\) là một điểm tùy ý trên trục \((O;\overrightarrow{e})\). Khi đó có duy nhất một số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{e}\). Ta gọi số \(k\) đó là tọa độ của điểm \(M\) đối với trục đã cho.

c) Cho hai điểm \(A\) và \(B\) trên trục \((O;\overrightarrow{e})\). Khi đó có duy nhất số \(a\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{e}\). Ta gọi số \(a\) đó là độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) đối với trục đã cho và kí hiệu \(a=\overline{AB}\).

Nhận xét

Nếu \(\overrightarrow{AB}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{e}\) thì \(\overline{AB}=AB\), còn nếu \(\overrightarrow{AB}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{e}\) thì \(\overline{AB}=-AB\).

Nếu hai điểm \(A\) và \(B\) trên trục \((O;\overrightarrow{e})\) có tọa độ lần lượt là \(a\) và \(b\) thì \(\overline{AB}=b-a\).

2. Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa

Hệ trục tọa độ \((O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\) gồm hai trục \((O;\overrightarrow{i})\) và \((O;\overrightarrow{j})\) vuông góc với nhau. Điểm gốc \(O\) chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục \((O;\overrightarrow{i})\) được gọi là trục hoành và kí hiệu là \(Ox\), trục \((O;\overrightarrow{j})\) được gọi là trục tung và kí hiệu là \(Oy\). Các vectơ \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{j}\) là các vectơ đơn vị trên \(Ox\) và \(Oy\) và \(|\overrightarrow{i}|=|\overrightarrow{j}|=1\). Hệ trục tọa độ \((O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\) còn được kí hiệu là \(Oxy\).

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ \(Oxy\) được gọi là mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) hay gọi tắt là mặt phẳng \(Oxy\).

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho một vectơ \(\overrightarrow{u}\) tùy ý. Vẽ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}\) và gọi \(A_1,A_2\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(Ox\) và \(Oy\). Ta có \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}\) và cặp số duy nhất \((x;y)\) để \(\overrightarrow{OA_1}=x\overrightarrow{i}, \overrightarrow{OA_2}=y\overrightarrow{j}\). Như vậy \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\).

Cặp số \((x;y)\) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\) và viết \(\overrightarrow{u}=(x;y)\) hoặc \(\overrightarrow{u}(x;y)\). Số thứ nhất \(x\) gọi là hoành độ, số thứ hai \(y\) gọi là tung độ của vectơ .

Như vậy

\(\overrightarrow{u}=(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Nếu \(\overrightarrow{u}=(x,y), \overrightarrow{u'}=(x',y')\) thì

\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u'}\Leftrightarrow \begin{cases}x=x'\\y=y'\end{cases}\)

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho một điểm \(M\) tùy ý. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OM}\) đối với hệ trục \(Oxy\) được gọi là tọa độ của điểm \(M\) đối với hệ trục đó.

Như vậy, cặp số \((x;y)\) là tọa độ của điểm \(M\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OM}=(x;y)\). Khi đó ta viết \(M(x;y)\) hoặc \(M=(x;y)\). Số \(x\) được gọi là hoành độ, còn số \(y\) được gọi là tung độ của điểm \(M\). Hoành độ của điểm \(M\) còn được kí hiệu là \(x_M\), tung độ của điểm \(M\) còn được kí hiệu là \(y_M\).

\(M(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm \(A(x_A;y_A)\) và \(B(x_B;y_B)\). Ta có

\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\)

3. Tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{k},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{k},k\overrightarrow{u}\)

Cho \(\overrightarrow{u}=(u_1,u_2),\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)\). Khi đó

+) \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1;u_2+v_2)\)

+) \(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1;u_2-v_2)\)

+) \(k\overrightarrow{u}=(ku_1;ku_2), k\in R\)

Nhận xét. Hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(u_1,u_2),\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)\) với \(\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho \(u_1=kv_1,u_2=kv_2\).

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng \(AB\) có \(A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)\). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm \(I(x_I;y_I)\) của đoạn thẳng \(AB\) là :

\(x_I=\frac{x_A+x_B}{2};y_I= \frac{y_A+y_B}{2}\)

b) Cho tam giác \(ABC\) có \(A(x_A;y_A),B(x_B;y_B), C(x_C;y_C)\). Khi đó tọa độ của trọng tâm \(G(x_G;y_G)\) của tam giác \(ABC\) được tính theo công thức:

\(x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G= \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\)

Bài trước Bài sau

Lớp 10

Chương 1: Xã hội nguyên thủy Chương 1: Nguyên tử Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp Chương 1: Vectơ Phần 1: Cơ học Chương 1: Thành phần hóa học của tế bào Chương 1: Chuyển hóa vật chất và năng lượng ở vi sinh vật Chương 1: Động học chất điểm Chương 5: Địa lí dân cư Chương 1: Động học chất điểm Chương 1: Việt Nam từ thời nguyên thủy đến thế kỉ X Chương 5: Chất khí Chương 1: Các cuộc cách mạng tư sản (từ giữa thế kỉ XVI đến cuối thế kỉ XVIII) Phần 1: Công dân với việc hình thành thế giới quan, phương pháp luận khoa học. Chương 1: Nguyên tử Chương 1: Bản Đồ Chương 2: Xã hội cổ đại Chương 2: Vũ trụ. Hệ quả các chuyển động của trái đất Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn Phần 2: Nhiệt học Chương 2: Cấu trúc của tế bào Chương 2: Sinh trưởng và sinh sản của vi sinh vật Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Chương 6: Cơ cấu nền kinh tế Chương 2: Động lực học chất điểm Chương 2: Động lực học chất điểm Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Chương 6: Cơ sở của nhiệt động lực học Chương 2: Việt Nam từ thế kỉ X đến thế kỉ XV Chương 2: Các nước Âu - Mỹ Phần 2: Công dân với đạo đức Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn Chương 3: Trung Quốc thời phong kiến Chương 3: Cấu trúc của Trái Đất. Các quyển của Trái Đất. Chương 3: Liên kết hóa học Chương 3: Chuyển hóa vật chất và năng lượng trong tế bào Chương 3: Virut và bệnh truyền nhiễm Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Chương 7: Địa lí nông nghiệp Chương 3: Tĩnh học vật rắn Chương 3: Cân bằng và chuyển động của vật rắn Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể Chương 3: Việt Nam từ thế kỉ XVI đến thế kỉ XVIII Chương 3: Phong trào công nhân (từ đầu thế kỉ XIX đến đầu thế kỉ XX) Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình Chương 3: Liên kết hóa học Chương 4: Phản ứng oxi hóa - khử Chương 4 : Phân bào Chương 4: Một số quy luật của lớp vỏ địa lí Chương 8: Địa lí công nghiệp Chương 4: Các định luật bảo toàn Chương 4: Các định luật bảo toàn Chương 4: Việt Nam ở nửa đầu thế kỉ XIX Chương 4: Ấn Độ thời phong kiến Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình Chương 4: Phản ứng hóa học Chương 5: Nhóm Halogen Chương 9: Địa lí dịch vụ Chương 5: Cơ học chất lưu Sơ kết lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX Chương 5: Đông Nam Á thời phong kiến Chương 5: Nhóm halogen Chương 5: Thống kê Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Chương 6: Oxi - Lưu huỳnh Chương 10: Môi trường và sự phát triển bền vững Chương 6: Chất khí Chương 6: Tây Âu thời trung đại Chương 6: Nhóm oxi Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học Chương 8: Cơ sở của nhiệt động lực học

Chương 1 : Vectơ

•Bài 1 : Các định nghĩa •Bài 2 : Tổng và hiệu của hai vectơ •Bài 3 : Tích của vectơ với một số •Bài 4 : Hệ trục tọa độ

+ Mở rộng xem đầy đủ