Phương trình đường thẳng - Hình học toán lớp 10
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ \(\overrightarrow{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\triangle\) nếu \(\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}\) và giá của \(\overrightarrow{u}\) song song hoặc trùng với \(\triangle\).
Nhận xét
- Nếu \(\overrightarrow{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\triangle\) thì \(k\overrightarrow{u}(k\neq 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\triangle\). Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(\triangle\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)\) làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm \(M(x;y)\) bất kì trong mặt phẳng, ta có \(\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0;y-y_0)\). Khi đó \(M\in \triangle \Leftrightarrow \overrightarrow{M_0M}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{M_0M}=t\overrightarrow{u}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}x-x_0=tu_1\\y-y_0=tu_2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=x_0+tu_1\\y=y_0
+tu_2\end{cases}\) (1)
Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\triangle\), trong đó \(t\) là tham số.
b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng
Nếu đường thẳng \(\triangle\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)\) với \(u_1\neq 0\) thì \(\triangle\) có hệ số góc \(k=\frac{u_2}{u_1}\).
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\triangle\) nếu \(\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(\triangle\).
Nhận xét
- Nếu \(\overrightarrow{n}\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\triangle\) thì \(k\overrightarrow{n}(k\neq 0)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\triangle\). Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa
Phương trình \(ax+by+c=0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét
Nếu đường thẳng \(\triangle\) có phương trình là \(ax+by+c=0\) thì \(\triangle\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(a;b)\) và vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(-b;a)\).
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\) có phương trình tổng quát lần lượt là
\(a_1x+b_1y+c_1=0\) và \(a_2x+b_2y+c_2=0\)
Tọa độ giao điểm của \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\) là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}\) (I)
Ta có các trường hợp sau
a) Hệ (I) có một nghiệm \((x_0;y_0)\), khi đó \(\triangle_1\) cắt \(\triangle_2\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\).
b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó \(\triangle_1\) trùng với \(\triangle_2\).
c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\) không có điểm chung, hay \(\triangle_1\) song song với \(\triangle_2\).
6. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
\(\triangle _1 : a_1x+b_1y+c_1=0\)
\(\triangle _2 : a_2x+b_2y+c_2=0\)
Đặt \(\alpha =(\overbrace{\triangle_1,\triangle_2})\) thì ta thấy \(\alpha\) bằng hoặc bù với góc giữa \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) trong đó \(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\). Vì \(cos \alpha \geq 0\) nên ta suy ra
\(cos α =\mid cos (\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})\mid= \frac {\mid \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\mid} {\mid \overrightarrow{n_1}\mid.\mid\overrightarrow{n_2}\mid}\)
Chú ý
- \(\triangle_1 \bot \triangle_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{n_1}\bot \overrightarrow{n_2}\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2=0\)
- Nếu \(\triangle_1\) và \(\triangle_2\) có phương trình \(y=k_1x+m_1,y=k_2x+m_2\) thì
\(\triangle_1 \bot \triangle_2 \Leftrightarrow k_1.k_2=-1\)
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(\triangle\) có phương trình \(ax+by+c=0\) và điểm \(M_0(x_0;y_0)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(\triangle\), kí hiệu là \(d(M_0,\triangle)\), được tính bởi công thức :
\(d(M_0;∆)=\frac{\mid ax_0+by_0+c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Mục lục Lớp 10 theo chương
Chương 1: Xã hội nguyên thủy - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 1: Nguyên tử - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp - Đại số 10
Chương 1: Vectơ - Hình học 10
Phần 1: Cơ học - Giải bài tập SGK Vật lý 10
Chương 1: Thành phần hóa học của tế bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 1: Chuyển hóa vật chất và năng lượng ở vi sinh vật - Phần 3: Sinh học vi sinh vật
Chương 1: Động học chất điểm - Phần 1: Cơ học
Chương 5: Địa lí dân cư - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 1: Động học chất điểm - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 1: Việt Nam từ thời nguyên thủy đến thế kỉ X - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 5: Chất khí - Phần 2: Nhiệt học
Chương 1: Các cuộc cách mạng tư sản (từ giữa thế kỉ XVI đến cuối thế kỉ XVIII) - Phần 3: Lịch sử thế giới cận đại
Phần 1: Công dân với việc hình thành thế giới quan, phương pháp luận khoa học. - Giải bài tập SGK GDCD 10
Chương 1: Nguyên tử - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 1: Bản Đồ - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 2: Xã hội cổ đại - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 2: Vũ trụ. Hệ quả các chuyển động của trái đất - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Phần 2: Nhiệt học - Giải bài tập SGK Vật lý 10
Chương 2: Cấu trúc của tế bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 2: Sinh trưởng và sinh sản của vi sinh vật - Phần 3: Sinh học vi sinh vật
Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Hình học 10
Chương 6: Cơ cấu nền kinh tế - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 2: Động lực học chất điểm - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 2: Động lực học chất điểm - Phần 1: Cơ học
Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Đại số 10
Chương 6: Cơ sở của nhiệt động lực học - Phần 2: Nhiệt học
Chương 2: Việt Nam từ thế kỉ X đến thế kỉ XV - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 2: Các nước Âu - Mỹ - Phần 3: Lịch sử thế giới cận đại
Phần 2: Công dân với đạo đức - Giải bài tập SGK GDCD 10
Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 3: Trung Quốc thời phong kiến - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 3: Cấu trúc của Trái Đất. Các quyển của Trái Đất. - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 3: Liên kết hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 3: Chuyển hóa vật chất và năng lượng trong tế bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 3: Virut và bệnh truyền nhiễm - Phần 3: Sinh học vi sinh vật
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Hình học 10
Chương 7: Địa lí nông nghiệp - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 3: Tĩnh học vật rắn - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 3: Cân bằng và chuyển động của vật rắn - Phần 1: Cơ học
Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể - Phần 2: Nhiệt học
Chương 3: Việt Nam từ thế kỉ XVI đến thế kỉ XVIII - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 3: Phong trào công nhân (từ đầu thế kỉ XIX đến đầu thế kỉ XX) - Phần 3: Lịch sử thế giới cận đại
Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình - Đại số 10
Chương 3: Liên kết hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 4: Phản ứng oxi hóa - khử - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 4 : Phân bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 4: Một số quy luật của lớp vỏ địa lí - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 8: Địa lí công nghiệp - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 4: Các định luật bảo toàn - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 4: Các định luật bảo toàn - Phần 1: Cơ học
Chương 4: Việt Nam ở nửa đầu thế kỉ XIX - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 4: Ấn Độ thời phong kiến - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình - Đại số 10
Chương 4: Phản ứng hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 5: Nhóm Halogen - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 9: Địa lí dịch vụ - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 5: Cơ học chất lưu - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Sơ kết lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 5: Đông Nam Á thời phong kiến - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 5: Nhóm halogen - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 5: Thống kê - Đại số 10
Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Đại số 10
Chương 6: Oxi - Lưu huỳnh - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 10: Môi trường và sự phát triển bền vững - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 6: Chất khí - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 6: Tây Âu thời trung đại - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 6: Nhóm oxi - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 8: Cơ sở của nhiệt động lực học - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
+ Mở rộng xem đầy đủ