Tích vô hướng của hai vectơ - Hình học toán lớp 10
1. Định nghĩa
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Tích vô hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\), đượ xác định bởi công thức sau:
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\)
Chú ý
a) Với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) ta có \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\).
b) Khi \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\) tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}\) được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}^2\) và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow{a}\).
2. Các tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) bất kì và mọi số \(k\) ta có:
+) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\) (tính chất giao hoán)
+) \(\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\) (tính chất phân phối)
+) \((k\overrightarrow{a})\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.(k\overrightarrow{b})\)
+) \(\overrightarrow{a}^2\geq 0,\overrightarrow{a}^2=0 \Leftrightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)
Nhận xét
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2\)
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong mặt phẳng tọa độ \((O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\), cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2),\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)\)
Khi đó tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) là
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
Nhận xét
Hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2),\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a_1b_1+a_2b_2=0\)
4. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)\) được tính theo công thức
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)\) đều khác \(\overrightarrow{0}\) thì ta có
\(cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}\)
c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_A;y_A)\) và \(B(x_B,y_B)\) được tính theo công thức:
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Mục lục Lớp 10 theo chương
Chương 1: Xã hội nguyên thủy - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 1: Nguyên tử - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp - Đại số 10
Chương 1: Vectơ - Hình học 10
Phần 1: Cơ học - Giải bài tập SGK Vật lý 10
Chương 1: Thành phần hóa học của tế bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 1: Chuyển hóa vật chất và năng lượng ở vi sinh vật - Phần 3: Sinh học vi sinh vật
Chương 1: Động học chất điểm - Phần 1: Cơ học
Chương 5: Địa lí dân cư - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 1: Động học chất điểm - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 1: Việt Nam từ thời nguyên thủy đến thế kỉ X - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 5: Chất khí - Phần 2: Nhiệt học
Chương 1: Các cuộc cách mạng tư sản (từ giữa thế kỉ XVI đến cuối thế kỉ XVIII) - Phần 3: Lịch sử thế giới cận đại
Phần 1: Công dân với việc hình thành thế giới quan, phương pháp luận khoa học. - Giải bài tập SGK GDCD 10
Chương 1: Nguyên tử - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 1: Bản Đồ - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 2: Xã hội cổ đại - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 2: Vũ trụ. Hệ quả các chuyển động của trái đất - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Phần 2: Nhiệt học - Giải bài tập SGK Vật lý 10
Chương 2: Cấu trúc của tế bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 2: Sinh trưởng và sinh sản của vi sinh vật - Phần 3: Sinh học vi sinh vật
Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Hình học 10
Chương 6: Cơ cấu nền kinh tế - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 2: Động lực học chất điểm - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 2: Động lực học chất điểm - Phần 1: Cơ học
Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Đại số 10
Chương 6: Cơ sở của nhiệt động lực học - Phần 2: Nhiệt học
Chương 2: Việt Nam từ thế kỉ X đến thế kỉ XV - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 2: Các nước Âu - Mỹ - Phần 3: Lịch sử thế giới cận đại
Phần 2: Công dân với đạo đức - Giải bài tập SGK GDCD 10
Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 3: Trung Quốc thời phong kiến - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 3: Cấu trúc của Trái Đất. Các quyển của Trái Đất. - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 3: Liên kết hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 3: Chuyển hóa vật chất và năng lượng trong tế bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 3: Virut và bệnh truyền nhiễm - Phần 3: Sinh học vi sinh vật
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Hình học 10
Chương 7: Địa lí nông nghiệp - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 3: Tĩnh học vật rắn - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 3: Cân bằng và chuyển động của vật rắn - Phần 1: Cơ học
Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể - Phần 2: Nhiệt học
Chương 3: Việt Nam từ thế kỉ XVI đến thế kỉ XVIII - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 3: Phong trào công nhân (từ đầu thế kỉ XIX đến đầu thế kỉ XX) - Phần 3: Lịch sử thế giới cận đại
Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình - Đại số 10
Chương 3: Liên kết hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 4: Phản ứng oxi hóa - khử - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 4 : Phân bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 4: Một số quy luật của lớp vỏ địa lí - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 8: Địa lí công nghiệp - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 4: Các định luật bảo toàn - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 4: Các định luật bảo toàn - Phần 1: Cơ học
Chương 4: Việt Nam ở nửa đầu thế kỉ XIX - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 4: Ấn Độ thời phong kiến - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình - Đại số 10
Chương 4: Phản ứng hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 5: Nhóm Halogen - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 9: Địa lí dịch vụ - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 5: Cơ học chất lưu - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Sơ kết lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 5: Đông Nam Á thời phong kiến - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 5: Nhóm halogen - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 5: Thống kê - Đại số 10
Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Đại số 10
Chương 6: Oxi - Lưu huỳnh - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 10: Môi trường và sự phát triển bền vững - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 6: Chất khí - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 6: Tây Âu thời trung đại - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 6: Nhóm oxi - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 8: Cơ sở của nhiệt động lực học - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
+ Mở rộng xem đầy đủ