Giải bài 1 trang 28 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin (x+2)=\dfrac{1}{3}\)
b) \(\sin 3x=1\)
c) \(\sin \left(\dfrac{2x}{3}-\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)
d) \(\sin (2x+20^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Hướng dẫn:
Phương trình: \(\sin f(x)=\,m\) với m là một số cho trước và \( \sin \alpha =m\). Ta có:
\(\begin{aligned} & \sin f\left( x \right)=\sin \alpha \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & f\left( x \right)=\alpha +k2\pi \\ & f\left( x \right)=\pi -\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
(Xem thêm chú ý (SGK/ trang 20) để biết thêm các dạng tổng quát khác)
a)
\(\begin{aligned} & \sin(x+2)=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x+2=\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi \\ & x+2=\pi -\arcsin \dfrac{1}{3}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\arcsin \dfrac{1}{3}-2+k2\pi \\ & x=\pi -\arcsin \dfrac{1}{3}-2+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,(k\in\mathbb Z) \\ \end{aligned} \)
b)
\(\begin{aligned} & \sin 3x=1 \\ & \Leftrightarrow 3x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{2k\pi }{3}\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)
c)
\(\begin{aligned} & \sin \left( \dfrac{2x}{3}-\dfrac{\pi }{3} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2x}{3}-\dfrac{\pi }{3}=k\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\dfrac{3\pi }{2}\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)
d)
\(\begin{aligned} & \sin (2x+{{20}^{o}})=\frac{-\sqrt{3}}{2} \\ & \Leftrightarrow \sin (2x+{{20}^{o}})=\sin (-{{60}^{o}}) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 2x+{{20}^{o}}=-{{60}^{o}}+k{{360}^{o}} \\ & 2x+{{20}^{o}}={{180}^{o}}-(-{{60}^{o}})+k{{360}^{o}} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-{{40}^{o}}+k{{180}^{o}} \\ & x={{110}^{o}}+k{{180}^{o}} \\ \end{aligned} \right.(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)