Giải bài 2.51 trang 85 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp, mỗi khối có 25% học sinh trượt Toán, 15% trượt Lí và 10% trượt Hóa. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất sao cho
a) Hai học sinh đó trượt Toán;
b) Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó;
c) Hai học sinh đó không bị trượt môn nào;
d) Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn.
Gọi \(A_1, A_2, A_3\) lần lượt là các biến cố: “ Học sinh được chọn từ khối I trượt Toán, Lí, Hóa";
\( B_1, B_2, B_3\) lần lượt là các biến cố: “ Học sinh được chọn từ khối II trượt Toán, Lí, Hóa”;
Nhận xét: Với mọi \((i, j)\) thì \(A_i \) và \(B_j\) độc lập.
a)
\(A_1B_1\) là biến cố: “Hai học sinh đó trượt toán”
\(P({{A}_{1}}{{B}_{1}})=P\left( {{A}_{1}} \right)P\left( {{B}_{1}} \right)=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16} \)
b) Vì \(A_1, A_2, A_3\) độc lập với nhau nên:
Ta có: \(P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)+P\left( {{A}_{3}} \right)=\dfrac{1}{2} \)
Tương tự \( B_1, B_2, B_3\) độc lập nên \(P\left( {{B}_{1}}\cup {{B}_{2}}\cup {{B}_{3}} \right)=\dfrac{1}{2} \)
Xác suất cần tính là
\(P\left( \left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup {{A}_{3}} \right)\cap \left( {{B}_{1}}\cup {{B}_{2}}\cup {{B}_{3}} \right) \right)\\=P\left( {{A}_{1}}\cup{{A}_{2}}\cup {{A}_{3}} \right).P\left( {{B}_{1}}\cup {{B}_{2}}\cup {{B}_{3}} \right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)
c) Đặt \(A=A_1\cup A_2\cup A_3;B=B_1\cup B_2 \cup B_3\)
Ta có: Biến cố C: "Hai học sinh đó không bị trượt môn nào" tức là: \(C=\overline A \cup \overline B\)
Ta có: \(\overline A;\overline B\) độc lập với nhau nên:
\(P(\overline A \cup \overline B)=P(\overline A)P(\overline B)=[1-P(A)].[1-P(B)]=\dfrac 1 2.\dfrac 1 2=\dfrac 1 4\)
d) Biến cố: "Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn" là \(\overline A\cup \overline B\)
Ta có: \(P(\overline A\cup \overline B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac 1 2+\dfrac 1 2-\dfrac 1 4=\dfrac 3 4\)