Giải bài 2 trang 168 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Giải các bất phương trình sau:
\(a)\, y’<0 \) với \( y=\dfrac{{{x}^{2}}+x+2}{x-1} \)
\(b)\, y’\ge 0\) với \( y=\dfrac{{{x}^{2}}+3}{x+1}\)
\(c)\, y’ > 0\) với \(y=\dfrac{2x-1}{{{x}^{2}}+x+4}\)
Gợi ý:
Sử dụng công thức \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) để tính đạo hàm của mỗi hàm số.
a)
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{2{{x}^{2}}-x-1-{{x}^{2}}-x-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & \\ \end{aligned}\)
Ta có:
\(\begin{aligned} & y'<0 \\ & \Rightarrow \dfrac{{x}^{2}-2x-3}{{\left ( x-1 \right)}^{2}}< 0 \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-2x-3< 0 \\ & x-1\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & -1< x< 3 \\ & x\ne 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left( -1;1 \right)\cup \left( 1;3 \right)\)
b)
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{2x\left( x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{2{{x}^{2}}+2x-{{x}^{2}}-3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}} \\ & \Rightarrow y'\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}+2x-3\ge 0 \\ & x+1\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & x\le -3 \\ & x\ge 1 \\ \end{aligned} \right. \\ & x\ne -1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x\le -3 \\ & x\ge 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy tập nghiêm của bất phương trình là \(S=(-\infty ;-3]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty ) \)
c)
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{2\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)-\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{2{{x}^{2}}+2x+8-4{{x}^{2}}+1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-2{{x}^{2}}+2x+9}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}} \\ & \Rightarrow y'>0\Leftrightarrow \dfrac{-2{{x}^{2}}+2x+9}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}>0 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & -2{{x}^{2}}+2x+9>0 \\ & {{x}^{2}}+x+4\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1-\sqrt{19}}{2}< x<\dfrac{1+\sqrt{9}}{2} \\ & {{x}^{2}}+x+4\ne 0\,\,\forall x \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy tập nghiệm của bât phương trình là \(S=\left( \dfrac{1-\sqrt{19}}{2};\dfrac{1+\sqrt{19}}{2} \right) \)