Giải bài 3.22 trang 124 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Tìm cấp số cộng (\(u_n\)), biết:
| a) \(\,\left\{ \begin{align} & u_1+u_2+u_3=27\\ & u_1^2+u_2^2+u_3^2=275 \\ \end{align} \right. \) | b) \(\,\left\{ \begin{align} & u_1+u_2+...+u_n=a\\ & u_1^2+u_2^2+...+u_n^2=b^2 \\ \end{align} \right. \) |
a) \(\,\left\{ \begin{align} & u_1+u_2+u_3=27\,\,\,(1)\\ & u_1^2+u_2^2+u_3^2=275\,\,\,(2) \\ \end{align} \right. \)
Áp dụng công thức \(u_1+u_3=2u_2\) thay vào (1) ta có:
\(3u_2=27\Leftrightarrow u_2=9\)
Thay \(u_2 =9\) vào (1) và (2) ta được:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}+{{u}_{3}}=18 \\ & u_{1}^{2}+u_{3}^{2}=194 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=18-{{u}_{3}} \\ & {{\left( 18-{{u}_{3}} \right)}^{2}}+u_{3}^{2}=194 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=18-{{u}_{3}} \\ & 2u_{3}^{2}-36{{u}_{3}}+130=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=5 \\ & {{u}_{3}}=13 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=13 \\ & {{u}_{3}}=5 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy ta có hai cấp số cộng \(5,9,13\) và \(13,9,5\)
b) \(\,\left\{ \begin{align} & u_1+u_2+...+u_n=a\,\,\,\,(1)\\ & u_1^2+u_2^2+...+u_n^2=b^2\,\,\,(2) \\ \end{align} \right. \)
Từ (2) ta có:
\(\begin{aligned} & {{b}^{2}}=u_{1}^{2}+{{\left( {{u}_{1}}+d \right)}^{2}}+...+{{\left[ {{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}^{2}} \\ & =nu_{1}^{2}+2{{u}_{1}}d\left[ 1+2+...+(n-1) \right]+{{d}^{2}}\left[ {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{\left( n-1 \right)}^{2}} \right] \\ & =nu_{1}^{2}+n\left( n-1 \right){{u}_{1}}d+\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( 2n-1 \right){{d}^{2}}}{6}\,\,\,\left( * \right) \\ \end{aligned} \)
Mặt khác
\( \begin{aligned} & a={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=n{{u}_{1}}+\dfrac{n\left( n-1 \right)d}{2} \\ & \Leftrightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{a}{n}-\dfrac{\left( n-1 \right)d}{2}\,\,\,\left( ** \right) \\ \end{aligned} \)
Thay (**) vào (*) ta được:
\(d=\pm\sqrt{\dfrac{12(nb^2-a^2)}{n^2(n^2-1)}}\)
\(u_1=\dfrac 1 n \left[a-\dfrac{n(n-1)d}{2}\right]\)