Giải bài 3 trang 7 – SGK môn Hình học lớp 11
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(\overrightarrow{v}=(-1;2), A(3; 5), B(-1; 1)\) và đường thẳng d có phương trình \(x – 2y + 3 = 0\).
a. Tìm tọa độ của các điểm \(A' , B'\) theo thứ tự là ảnh của hai điểm \(A, B\) qua phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}.\)
b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\).
c. Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}.\)
Nhắc lại:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(\overrightarrow{v}=(a;b)\). Với mỗi điểm M (x; y) ta có M'(x';y') là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\). Khi đó, \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\).
Do đó, ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow{v}}\) là \(\left\{ \begin{aligned} & x'-x=a \\ & y'-y=b \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x'=x+a \\ & y'=y+b \\ \end{aligned} \right. \)
a) Tọa độ A’ là ảnh của A qua \(\overrightarrow{v}\) là \(\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{A'}}={{x}_{A}}-1 \\ & {{y}_{A'}}={{y}_{A}}+2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{A'}}=2 \\ & {{y}_{A'}}=7 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow A'\left( 2;7 \right) \)
Tương tự ta có: \({{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( B \right)=B'\left( -2;3 \right) \)
b) \(A={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( C \right)\Leftrightarrow C={{T}_{-\overrightarrow{v}}}\left( A \right) \)
Ta có: \( -\overrightarrow{v}=\left( 1;-2 \right) \)
Suy ra \( \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{C}}={{x}_{A}}+1 \\ & {{y}_{C}}={{y}_{A}}-2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{C}}=4 \\ & {{y}_{C}}=3 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow A'\left( 4;3 \right)\)
c) Gọi \(M(x;y)\) thuộc \(d, M'={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=\left( x';y' \right)\in d'\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{aligned} & x'=x-1 \\ & y'=y+2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=x'+1 \\ & y=y'-2 \\ \end{aligned} \right. \)
Ta có:
\( \begin{aligned} & M\in d\Leftrightarrow x-2y+3=0 \\ & \Leftrightarrow \left( x'+1 \right)-2\left( y'-2 \right)+3=0 \\ & \Leftrightarrow x'-2y'+8=0 \\ \end{aligned} \)
Vậy \(M’ \) thuộc \(d’ \) có phương trình \(x-2y+8=0\)